Équation du troisième degré/Exercices/Sur les tracés de courbes

Exercice 3-1

Étudier et tracer la fonction g définie par :

$g(x)=\frac{x^3}{4}+\frac{3x^2}{4}-\frac{3x}{2}-2$

Exercice 3-2

Dans les questions a) et b), nous supposerons Δ' positif. Nous appellerons M le maximum relatif atteint par la fonction f et m le minimum relatif atteint par la fonction f.

a) Montrer que :

$m\times M=-\frac{\mathrm{\Delta }}{27a^2}$

b) Déduire des calculs de l’expression précédente, la relation :

$\mathrm{\Delta }=\frac{4\delta {\text{'}}^3-{\mathrm{\Psi }}^2}{27a^2}$

c) Montrer que la relation obtenue question b) est en fait une relation toujours vraie.

Exercice 3-3

Montrer par deux méthodes différentes que :

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\Rightarrow \mathrm{\Delta }<0$

Modèle:Solution

Exercice 3-4

Soit T une tangente à C_f en un point d'abscisse α.

Montrer que le point de recoupement de la tangente T avec la courbe C_f a une abscisse β indépendante de c et d.

Exercice 3-5

Soit D une droite interceptant la courbe C_f en trois points distincts.

Montrer que la somme des abscisses des trois points d'interception de C_f et D est une constante indépendante de la droite D.

Exercice 3-6

Montrer que la courbe C_f admet un centre de symétrie.

Exercice 3-7

On suppose que la courbe C_f a, en son centre de symétrie, une tangente horizontale.

a) En déduire les coordonnées du point d'interception de C_f avec l'axe des abscisses en fonction de a, b, c, d.

b) Montrer que le discriminant est négatif ou nul. Montrer en particulier que, si le discriminant est nul, alors le centre de symétrie se trouve sur l'axe des abscisses.

Modèle:Solution