Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan

Exercice 4-1

Résoudre par la méthode de Cardan les quatre équations suivantes :

a)  $x^3-18x-35=0$ ;

b)  $x^3-3x-1=0$ ;

c)  $x^3-3x^2-1=0$ ;

d)  $6x^3-6x^2+12x+7=0$ ;

Exercice 4-2

Résoudre par la méthode de Cardan les deux équations suivantes :

a)  $x^3-6x^2+9x-1=0$ ;

b)  $3x^3+9x^2-9x-29=0$.

Exercice 4-3

Résoudre par la méthode de Cardan les deux équations suivantes (déjà rencontrées dans l'exercice 1-3) :

α) $\frac{4x^2}{3}=\frac{\sqrt{3}-6x}{2x-\sqrt{27}}$ ;

β) $x^3-5x^2+x-1=4x\sqrt{2}$.

Exercice 4-4

En résolvant l'équation suivante par deux méthodes différentes :

$x^3-2x^2+3x-2=0$,

montrer que :

$\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}}+\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}}+\frac{2}{3}=1$.

Exercice 4-5

La méthode suivante est due à François Viète (1540-1603).

1. Montrer que pour un nombre (complexe) $k\ne 0$ donné, tout nombre $z$ est de la forme $y-\frac{k}{y}$ pour au moins un $y$ (non nul).
2. On suppose $p\ne 0$ et dans l'équation

   $z^3+pz+q=0$,

   on effectue un changement de variable de la forme :

   $z=y-\frac{k}{y}$.

   Quelle équation polynomiale en $y$ obtient-on ?

3. Pour quel choix du paramètre $k$ cette équation est-elle bicarrée en $y^3$ (c'est-à-dire de la forme $y^6+r{y}^3+s=0$) ? Préciser alors $r$ et $s$ et résoudre cette équation.
4. Retrouver ainsi les formules de Cardan.

Exercice 4-6

La méthode suivante est due à Joseph Louis Lagrange (1736-1813).

Soient $x_0,x_1,x_2$ les solutions de $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ (numérotées dans un ordre arbitraire). On pose :

• $y_0=x_0+x_1+x_2$ ;
• $y_1=x_0+\mathrm{j}{x}_1+{\mathrm{j}}^2{x}_2$ ;
• $y_2=x_0+{\mathrm{j}}^2{x}_1+\mathrm{j}{x}_2$.

1. Quel est l'effet, sur ces trois expressions, d'une permutation des $x_i$ ?
2. En déduire que $y_0$, $y_1{y}_2$ et $y_1^3+y_2^3$ sont des polynômes symétriques en $x_0,x_1,x_2$.
3. Le retrouver par calcul direct, et exprimer $y_0$, $y_1{y}_2$ et $y_1^3+y_2^3$ en fonction de $a,b,c,d$.
4. En déduire un algorithme pour calculer $y_0,\{y_1,y_2\}$, puis $x_0,\{x_1,x_2\}$.
5. Retrouver ainsi les formules de Cardan.