Équation du troisième degré/Exercices/Nombres algébriques de degré 3

Exercice 8-1

Calculer le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}$ de chacun des nombres suivants :

1. $\alpha =u+\bar{u}$ où $u$ est l'une des trois racines cubiques de $5+\mathrm{i}\sqrt{2}$ ;
2. $\beta =\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$ ;
3. $\gamma =\mathrm{j}\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}+{\mathrm{j}}^2\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$.

Exercice 8-2

Soient α un nombre algébrique de degré 3, de polynôme minimal

$P(X)=X^3+p{X}^2+qX+r$

et

$f(t)=\frac{at+b}{ct+d}$

une transformation homographique, avec $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$, $ad-bc\ne 0$ et $c\ne 0$.

Calculer le polynôme minimal de $\beta :=f(\alpha )$. Modèle:Solution

Application : quel est le polynôme minimal de $\frac{\cos \frac{\pi }{7}}{3\cos \frac{\pi }{7}-1}$ ? Modèle:Solution

Exercice 8-3

Montrer que les trois nombres

$\frac{\tan \frac{\pi }{9}}{\sqrt{3}},\frac{\tan \frac{4\pi }{9}}{\sqrt{3}}\text{et}-\frac{\tan \frac{2\pi }{9}}{\sqrt{3}}$

sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

$P(X)=X^3-3X^2-X+\frac{1}{3}$.

Exercice 8-4

Montrer que les trois nombres

$\frac{\sin \frac{\pi }{9}}{\sqrt{3}}$, $\frac{\sin \frac{2\pi }{9}}{\sqrt{3}}$ et $-\frac{\sin \frac{4\pi }{9}}{\sqrt{3}}$

sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

$P(X)=X^3-\frac{1}{4}X+\frac{1}{24}$.

Exercice 8-5

Vérifier que pour $\theta =\frac{k\pi }{7}$ avec $k\in \{1,2,4\}$ :

$\frac{\tan \theta }{\sqrt{7}}=4\frac{\sin (2\theta )}{\sqrt{7}}-1$.

Modèle:Solution En déduire que les trois nombres $\frac{\sin \frac{\pi }{7}}{\sqrt{7}}$, $-\frac{\sin \frac{2\pi }{7}}{\sqrt{7}}$ et $-\frac{\sin \frac{3\pi }{7}}{\sqrt{7}}$ sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

$P(X)=X^3+\frac{1}{2}{X}^2-\frac{1}{56}$,

puis résoudre l'équation

$7x^2=\frac{1}{x+1}$.

Modèle:Solution En déduire aussi que le nombre

$\beta :=\sqrt{2(1+\cos \frac{\pi }{7})}+\sqrt{2(1+\cos \frac{3\pi }{7})}+\sqrt{2(1-\cos \frac{2\pi }{7})}$

est égal à $\tan \frac{3\pi }{7}$. Modèle:Solution

Exercice 8-6

Montrer que si un nombre est algébrique de degré 3 alors son carré l'est aussi. Modèle:Solution Soit $Q(X)=X^3+X+1$. Former le polynôme unitaire $R$ de degré 3 dont les racines sont les carrés des racines de $Q$. Modèle:Solution

Exercice 8-7

Soit $\alpha =\sqrt[3]{2}$. On suppose qu'il existe des entiers $a,b,c$ non tous nuls tels que

$(*)a{\alpha }^2+b\alpha +c=0$.

1. Montrer que si $(*)$ est vrai, alors $a\ne 0$.
2. Montrer alors que $\alpha$ est solution d'une équation $X^2+pX+q=0$ avec $p,q\in \mathbb{Q}$. Trouver un autre polynôme $X^2+p^{\prime }X+q^{\prime }$ annulé par $\alpha$ et conclure que $(*)$ est impossible.