Équation du troisième degré/Devoir/Méthode de Tschirnhaus

Les questions a) à d) de la partie Ⅰ de ce devoir exposent fidèlement les calculs (en latin) de

Modèle:Article

(traduction en anglais : Modèle:Article),

fournissant une autre méthode de résolution des équations du troisième degré que celle de Cardan vue au chapitre 4.

Elle étend celle vue au chapitre 4 qui permet, par translation de la variable, de ramener une équation de degré $n$ à une équation de même degré mais de coefficient nul en degré $n-1$. Ce résultat étant acquis, on se contentera d'appliquer la méthode de Tschirnhaus aux équations du troisième degré de la forme $x^3+px+q=0$. On écartera le cas trivial $p=0$.

Cette méthode est largement généralisable. On en verra un exemple dans la partie Ⅱ, qui donne une méthode pour résoudre les équations de degré 4.

— Ⅰ —

a) Recalculer le résultant $R_{3-2}$ (vu au chapitre 2) dans le cas particulier de deux équations de la forme

$\{\begin{array}{cc}{x}^3+px+q& =0\\ x^2+\alpha x+\beta & =0\end{array}$

en le présentant par puissances décroissantes de $\beta$. Modèle:Solution

b) On cherche à résoudre l'équation $x^3+px+q=0$ (avec $p\ne 0$) en introduisant une variable auxiliaire $y$ et une nouvelle équation, de la forme $x^2=ax+b+y$. Quelle équation polynomiale (à présenter par puissances décroissantes de $y$) doit lier les paramètres $y$, $a$ et $b$ pour que les deux équations

$\{\begin{array}{cc}{x}^3+px+q& =0\\ x^2& =ax+b+y\end{array}$

aient une solution commune $x$ ? Modèle:Solution

c) Comment $a$ et $b$ doivent-ils être choisis pour que cette équation soit de la forme $y^3=c$ ?

Montrer qu'alors, avec $\delta$ défini (au signe près) par ${\delta }^2=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=\frac{4p^3+27q^2}{4\times 27}$, on a :

• $a=\frac{3}{p}(\frac{q}{2}+\delta )$ ;
• $a\ne 0$ ;
• $a^2+\frac{p}{3}=\frac{6a\delta }{p}$ ;
• $c={\left(\frac{6\delta }{p}\right)}^3\frac{pa}{3}$.

d) En déduire un algorithme pour résoudre $x^3+px+q=0$ (avec $p\ne 0$). Modèle:Solution

e) Appliquer cet algorithme pour résoudre $x^3+x-2=0$. Modèle:Solution

f) On revient au cas général (avec, toujours, $p\ne 0$). Démontrer que (pour $a,b,c,y$ choisis comme ci-dessus) les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

$\delta =0,y=0,a^2+b+y+p=0$.

Que remarque-t-on lorsqu'elles sont satisfaites ? Modèle:Solution

g) Si $\delta \ne 0$ (avec $a,b,c,y$ choisis comme ci-dessus), montrer (en reprenant les calculs du début du devoir) qu'à chacune des trois racines cubiques $y$ de $c$ correspond une solution $x$ de $x^3+px+q=0$ — s'exprimant comme une fonction homographique de $y$ — et que les trois solutions $x$ ainsi obtenues sont distinctes. (Ceci affine l'algorithme de la question d).) Modèle:Solution

— Ⅱ —

a) Calculer le résultant des deux équations

$\{\begin{array}{cc}{x}^4+p{x}^2+qx+r& =0\\ x^2+\alpha x+\beta & =0\end{array}$

en le présentant par puissances décroissantes de $\beta$. Modèle:Solution

b) On cherche à résoudre l'équation $x^4+p{x}^2+qx+r=0$ (avec $q\ne 0$) en introduisant une variable auxiliaire $y$ et une nouvelle équation, de la forme $x^2=ax+b+y$. Quelle équation polynomiale (à présenter par puissances décroissantes de $y$) doit lier $y$, $a$ et $b$ pour que les deux équations

$\{\begin{array}{cc}{x}^4+p{x}^2+qx+r& =0\\ x^2& =ax+b+y\end{array}$

aient une solution commune $x$ ? Modèle:Solution

c) Comment $a$ et $b$ doivent-ils être choisis pour que cette équation soit de la forme $y^4+A{y}^2+C=0$ ?

Exprimer alors $a^3$, $a^4$, $A$ et $C$ comme des polynômes du second degré en $a$ (on pourra poser $s=\frac{4r-p^2}{4}$). Modèle:Solution

d) Déduire de ce qui précède un algorithme pour résoudre $x^4+p{x}^2+qx+r=0$ (si $q\ne 0$). Modèle:Solution

e) Résoudre par cet algorithme l'équation :

$x^4-3x^2-6x-2=0$.

f) Montrer (en reprenant les calculs du début de cette partie) qu'en général, à chacune des quatre solutions $y$ de $y^4+A{y}^2+C=0$ correspond une seule solution $x$ de $x^4+p{x}^2+qx+r=0$, s'exprimant comme une fraction rationnelle de $y$. Vérifier sur l'exemple précédent l'efficacité de cette amélioration de l'algorithme. Modèle:Solution