Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les tracés de courbes

Exercice 3-1

Montrer que si

$b^3-4abc+8a^{2}d=0$,

alors C_f admet un axe de symétrie. Modèle:Solution

Exercice 3-2

Soit ζ la moyenne arithmétique des abscisses des points d'inflexion de la courbe C_f. Posons :

$\mathrm{H}=256a^{3}e-64a^{2}bd+16a{b}^{2}c-3b^4$.

x₁, x₂, x₃, x₄ étant les quatre racines f, montrer que :

$a(x_1-\zeta )(x_2-\zeta )(x_3-\zeta )(x_4-\zeta )=f(\zeta )=\frac{\mathrm{H}}{256a^3}$.

Exercice 3-3

Soient α, β, γ, les trois racines de $f^{\prime }$.

Établir la relation :

$\mathrm{\Delta }=256a^{3}f(\alpha )f(\beta )f(\gamma )$.

Exercice 3-4

Supposons que l'équation :

$f^{\prime }(x)=0$

a une racine double α et une racine simple β distincte de α.

Montrer qu'alors :

$f(\alpha )=\frac{\mathrm{\Psi }}{48a^2(\alpha -\beta {)}^2}$.

Vérifier aussi que si α = β, c'est-à-dire si l'équation :

$f^{\prime }(x)=0$

a une racine triple α, alors :

$\mathrm{\Psi }=0$.

Exercice 3-5

Dans cet exercice, on se place dans le cas où a est positif et Δ' est strictement positif.

Soit α, β et γ les trois racines réelles de l'équation :

$f^{\prime }(x)=0$

vérifiant α < β < γ.

On pose :

$w=\frac{\mathrm{\Psi }}{9(3b^2-8ac)}$.

Montrer que

$f(\alpha )<wf(\beta )>wf(\gamma )<w$,

c'est-à-dire que la droite d'équation y = w passe entre les extremums comme indiqué sur le schéma.

En déduire que le signe du sottien permet de situer la courbe par rapport à l'axe des abscisses. Montrer en particulier que le signe du sottien associé au signe du discriminant permet, dans certain cas, de mieux préciser la nature des racines de l'équation considérée. Modèle:Solution

Exercice 3-6

Nous avons vu que dans le cours que, lorsque le discriminant d'une équation du quatrième degré est strictement positif, l'équation admet soit deux couples de racines complexes conjuguées, soit quatre racines réelles distinctes. Selon le cas, nous avions alors les deux tracés possibles (en supposant a > 0 et Δ' > 0) :

Les 2 cas qui peuvent se présenter

a > 0	premier cas	deuxième cas

Le discriminant étant dans l'impossibilité de différencier ces deux cas, peut-on trouver une autre expression s'exprimant à l'aide des coefficients $a,b,c,d,e$ et qui serait négative dans le premier cas et positive dans le deuxième cas ?

• Si la réponse est oui, donner une telle expression.
• Si la réponse est non, expliquer pourquoi.