Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les généralités

Exercice 1-1

Soient $P$ un polynôme de degré 3 et $Q(X)=(X-\alpha )P(X)$. Montrer que

${\mathrm{\Delta }}_Q={\mathrm{\Delta }}_P\times (P(\alpha ){)}^2$.

Exercice 1-2

Soit P un polynôme de degré 4, P' (de degré 3) son polynôme dérivé, et α une racine de P.

a) Montrer que α est racine multiple de P si et seulement si α est racine de P', et que α est même racine triple (au moins) de P si et seulement si α est même racine double (au moins) de P'.

b) Résoudre l'équation :

$x^4-(1+2\sqrt{2})x^3+3x^2\sqrt{2}-2(3-2\sqrt{2})x-2(2-\sqrt{2})=0$.

Exercice 1-3

Dans cet exercice, nous allons étudier une méthode de résolution graphique des équations du quatrième degré. Cette méthode permet de trouver les racines réelles mais pas les racines complexes.

Soit donc à résoudre l'équation du quatrième degré suivante :

$a{X}^4+b{X}^3+c{X}^2+dX+e=0$

On sait (chapitre 4 et exercice 4-6) qu'en posant :

$X=x-\frac{b}{4a}$,

on se ramène à une équation (sans terme de degré 3) de la forme :

$x^4+p{x}^2+qx+r=0$.

On considère, dans un repère orthonormé, la parabole élémentaire H d'équation y = xModèle:Exp.

Montrer qu'alors, les racines de l'équation :

$x^4+p{x}^2+qx+r=0$

sont les abscisses des points d'interceptions de la parabole H avec un cercle dont on donnera le centre et le rayon en fonction de p, q, r.