Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la méthode de Lagrange

Exercice 7-1

En utilisant la méthode « de Lagrange », résoudre l'équation :

$z^4-5z^2+z\sqrt{30}-\frac{3}{2}=0$.

Exercice 7-2

a) Soit

$z^4+p{z}^2+qz+r=0$

une équation dont la résolvante de Lagrange a (comme l'équation de l'exercice 6-3) une racine triple, $y_0$.

1. Montrer que l'une des deux racines carrées de $y_0$ a pour cube $q$.
2. On note $\sqrt{y_0}$ cette racine. Exprimer alors les solutions de $z^4+p{z}^2+qz+r=0$ en fonction de $\sqrt{y_0}$ et montrer que cette équation a une racine (au moins) triple.
3. Montrer que réciproquement, si une équation de degré 4 a une racine (au moins) triple alors sa résolvante de Lagrange aussi.

b) Montrer que de même, une équation de degré 4 a une racine (au moins) double si et seulement si sa résolvante de Lagrange a une racine (au moins) double.

Exercice 7-3

Montrer que la méthode de Ferrari, dans le cas général d'une équation

$x^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$,

est équivalente à la première des deux méthodes originelles de Lagrange. Modèle:Solution

Exercice 7-4

Dans ses deux méthodes originelles, Lagrange, considérant une équation

$x^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$,

pose d'abord

$u_0=x_0{x}_1+x_2{x}_3,u_1=x_0{x}_2+x_1{x}_3,u_2=x_0{x}_3+x_1{x}_2$,

puis se ravise et exprime les xModèle:Ind en fonction de

$s_0=x_0+x_1-x_2-x_3,s_1=x_0+x_2-x_1-x_3,s_2=x_0+x_3-x_1-x_2$.

1. En déduire l'expression des solutions x₀, x₁, x₂ et x₃ en fonction de u₀, u₁ et u₂.
2. Adapter cette étude en posant (comme dans notre pseudo-« méthode de Lagrange » de tout le début ce chapitre, mais à présent pour $b$ non nécessairement nul) :

   $y_0=-(x_0+x_1)(x_2+x_3),y_1=-(x_0+x_2)(x_1+x_3),y_2=-(x_0+x_3)(x_1+x_2)$.

Exercice 7-5

Par notre méthode « de Lagrange », retrouver (cf. exercice 8-5 et chapitre 8 de la leçon sur les équations de degré 3) une équation du sixième degré à coefficients entiers ayant pour racine le nombre :

$\beta :=\sqrt{2(1+\cos \frac{\pi }{7})}+\sqrt{2(1+\cos \frac{3\pi }{7})}+\sqrt{2(1+\cos \frac{5\pi }{7})}$.

Exercice 7-6

Calculer par notre méthode « de Lagrange » les racines

$2\cos \frac{\pi }{20},2\cos \frac{7\pi }{20},2\cos \frac{9\pi }{20},2\cos \frac{17\pi }{20}$

du polynôme

$P(X)=X^4-X^3\sqrt{2}-3X^2+3X\sqrt{2}-1$.