Équation différentielle/Exercices/Charge d'un condensateur

Un circuit comprend un générateur de force électromotrice $V_{in}$, une résistance R et un condensateur C en série.

La tension $V_C$ aux bornes du condensateur est égale à la somme des tensions aux bornes du générateur $V_{in}$ et de la résistance $V_R$, donc :

$V_C(t)+Ri(t)=V_{in}$.

La charge du condensateur et l'intensité du courant produit sont liés par la relation :

$i(t)=q^{\prime }(t)$.

Expression de q(t)

1. Démontrer que $R{q}^{\prime }+\frac{1}{C}q=V_{in}$.
2. Résoudre cette équation différentielle.
3. Si le condensateur est sans charge initiale, exprimer q en fonction de t.

La constante de temps

1. Déterminer la charge finale Q du condensateur, c'est-à-dire la limite de la fonction q en $+\mathrm{\infty }$.
2. On note $\tau =RC$. À quel pourcentage de sa charge maximale Q le condensateur est-il chargé après une durée de charge égale à $\tau$ ; à $5\tau$ ?

Étude de la fonction q

1. Préciser les variations de la fonction $q$.
2. Vérifier que la droite $(OT)$, où $T$ a pour coordonnées $(\tau ,Q)$, est la tangente à la courbe $C_q$ à l'origine O.
3. Tracer $C_q$, sa tangente en O, son asymptote horizontale dans le cas où $C=1\mathrm{F}$, $R=100\mathrm{\Omega }$ et $V_{in}=5\mathrm{V}$ pour $t\in [0,5\tau ]$.

Étude de l'intensité i(t) et de sa courbe Γ

1. Démontrer que $i(t)=\frac{V_{in}}{R}{\mathrm{e}}^{\frac{-t}{\tau }}$.
2. Préciser les variations de $i$.
3. Vérifier que la droite $(A{T}^{\prime })$, où $T^{\prime }$ a pour coordonnées $(\tau ,0)$ et où A est le point d'intersection de l'axe des ordonnées avec $\mathrm{\Gamma }$, est tangente à $\mathrm{\Gamma }$ en A.
4. Tracer $(A{T}^{\prime })$ et $\mathrm{\Gamma }$ dans le cas où $C=1\mathrm{F}$, $R=100\mathrm{\Omega }$ et $V_{in}=5\mathrm{V}$ pour $t\in [0,5\tau ]$.