Vecteurs et droites du plan/Équation cartésienne des droites

Vecteur directeur

Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ vecteur et $d$ une droite.

S'il existe deux points $A$ et $B$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ alors on dit que $\overrightarrow{u}$ est un directeur de $d$.

Remarque

On dit aussi que $\overrightarrow{u}$ dirige $d$.

Une droite peut donc être définie par deux points, ou par un point et un vecteur directeur.

Propriétés

Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $d$, donc tout vecteur colinéaire à $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $d$.

Parallèlisme

Si un vecteur directeur d'une droite est colinéaire à un vecteur directeur à une autre, alors ces deux droites sont parallèles.

Caractérisation d'une droite

Soit $d$ une droite, $\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur de cette droite et $A$ un point de la droite.

Si un point $M$ appartient à la droite $d$, alors donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires et vice versa.

Vecteur directeur et équation réduite

Soit $d$ la droite d'équation : $y=ax+b$. Le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\ a\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite $d$.

Exemple

Dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ du plan, on considère de la droite $d$ passant par $A(0;2)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$.

Donner les coordonnées de deux autres vecteurs directeurs de cette droite.

Si $\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur de la droite $d$, donc tous les vecteurs directeurs de $d$, sont colinéaires à $\overrightarrow{u}$. Alors $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de $d$ où $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{u}$, ou encore $\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ où $\overrightarrow{w}=-\overrightarrow{u}$.

Déterminer si les points $M(-1;3)$ et $N(5;-2)$ appartiennent à $d$.

$\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}-1-0\\ 3-2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$

Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires donc $M$ appartient à $d$.

$\overrightarrow{AN}\left(\begin{array}{c}5-0\\ -2-2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AN}\left(\begin{array}{c}5\\ -4\end{array}\right)$

$5\times 1-(-4)\times (-1)=4-5\ne 0$

Les vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas colinéaires donc $N$ n’appartient pas à $d$.

Équation cartésienne de droite

Théorème

Toute droite $d$ du plan admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.

Cette équation est une équation cartésienne de la droite $d$.

Remarque

L'équation réduite d'une droite est unique. Par contre la droite peut admettre plusieurs équations cartésiennes.

Par exemple, soit $d$ : $2x-y+3=0$. L'équation réduite de $d$ est $y=2x+3$. $-2x+y-3=0$ et $4x-2y+6=0$ sont aussi des équations cartésiennes de la droite $d$.

Démonstration

Soit $A(x_O;y_O)$ et $M(x;y)$ deux points de $d$ et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ un vecteur directeur de $d$.

Si $A$ et $M$ deux points de $d$, alors $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x-x_O\\ y-y_O\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ sont colinéaires.

$(x-x_O)\times \beta -(y-y_O)\times \alpha =0$

$\beta x-\beta x_O-\alpha y+\alpha y_O=0$

$\beta x-\alpha y-\beta x_O+\alpha y_O=0$

$\beta x-\alpha y-\beta x_O+\alpha y_O=0$ est une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ avec $a=\beta$, $b=-\alpha$ et $c=-\beta x_O+\alpha y_O$.

Propriété

Soient des réels $a$, $b$, $c$, $a\prime$, $b\prime$ et $c\prime$ avec $(a;b)\ne (0;0)$ et $(a\prime ;b\prime )\ne (0;0)$.

• L'ensemble des points $M(x;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$ est une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$.
• Les droites $d$ et $d\prime$ d'équations respectives : $ax+by+c=0$.

Si $(a;b)$ et $(a\prime ;b\prime )$ sont proportionnels, alors les droites d’équations $ax+by+c=0$ et $a\prime x+b\prime y+c=0$ sont parallèles.

Exemple

Le plan est rapporté au repère $(O;I;J)$.

On considère les points $A(0;2)$ et $B(3;1)$ et le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$.

Exemple n^o 1

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d_1$ passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.

Solution

Soit $M(x;y)\in d_1$, $A\in d_1$ et $\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur de $d_1$.

$\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x-0\\ y-2\end{array}\right)=\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x\\ y-2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$

Puisque $M\in d_1$ et $A\in d_1$ donc $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.

$x\times 1-(y-2)\times 2=0$

$x-2y+4=0$ est une équation cartésienne de $d_1$.

Exemple n^o 2

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ noté $d_2$.

Solution

Soit $M(x;y)\in d_2$.

Puisque $d_2$ est la droite $(AB)$ donc $A\in d_2$ et $B\in d_2$ donc $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $d_2$. Avec $M\in d_1$ donc $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

$\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x\\ y-2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}3-0\\ 1-2\end{array}\right)=\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$

$x\times (-1)-(y-2)\times 3=0$

$-x-3y+6=0$ est une équation cartésienne de $d_2$.

Exemple n^o 3

Déterminer une équation cartésienne de la droite, parallèle à l'axe des ordonnées passant par $B$, noté $d_3$.

Soit $M(x;y)\in d_3$ et $B\in d_3$.

$d_3$ est parallèle à l'axe des ordonnées qui admet $\overrightarrow{j}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ pour vecteur directeur, donc $\overrightarrow{j}$ est un vecteur directeur de $d_3$.

$\overrightarrow{BM}\left(\begin{array}{c}x-3\\ y-1\end{array}\right)$

$\overrightarrow{j}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

$M\in d_3$ donc $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{j}$ sont colinéaires.

$(x-3)\times 1-(y-1)\times 0=0$

$x-3=0$ est une équation cartésienne de $d_3$.