Vecteurs et droites du plan/Exercices/Décomposition de vecteurs

Exercice n^o 1

1. Les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}-2\\ \sqrt{3}+2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}4\sqrt{3}-7\\ 1\end{array}\right)$ sont-ils colinéaires ?
2. Soit $A(1;4)$, $B(-1;1)$, $C(1;2)$ et $D(-3;y)$. Déterminer la valeur de $y$ pour que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles.

Exercice n^o 2

Dans un triangle non aplati $ABC$, on considère les points $I$, $J$ et $K$ tels que $I$ soit le milieu du segment $[AB]$, $J$ celui du segment $[CI]$ et $K$ est tel que $\overrightarrow{CK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$.

On considère le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$.

1. Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $I$ et $J$ dans ce repère.
2. En utilisant la relation $\overrightarrow{CK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$, déterminer les coordonnées du point $K$.
3. Démontrer que les points $A$, $J$ et $K$ sont alignés et préciser la position du point $J$ sur le segment $[AK]$.

Exercice n^o 3

Soit les points $A(6;2)$, $B(4;5)$ et $C(10;\frac{5}{2})$.

1. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$.
2. Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{AB}$.
3. Déterminer que $ABED$ est un parallélogramme.
4. Calculer les longueurs $BD$ et $AE$. Que pouvez-vous en déduire pour le parallélogramme $ABED$ ?

Exercice n^o 4

On considère un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$.

Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$.