Variables aléatoires discrètes/Définitions

Variables aléatoires

Exemples

• Les variables aléatoires discrètes sont souvent utilisées pour quantifier le "nombre de fois" qu'un évènement se produit, quand celui-ci est soumis au hasard.
• Par exemple, après n lancers successifs d'un dé, on peut noter $X_n$ le nombre de fois où l’on a obtenu 6. $X_n$ est alors une variable aléatoire discrète.
• On peut aussi définir dans le même contexte la variable aléatoire discrète Y donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois.

Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète

Exemple

Après n lancers successifs d'un dé équilibré, notons X la variable aléatoire discrète donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois. Si on a obtenu 6 pour la première fois au k-ième lancer, cela signifie que l’on a obtenu un des résultats 1, 2, 3, 4, 5 k-1 fois auparavant, avec une probabilité de $\frac{5}{6}$ à chaque fois. d'où :

$p_k=p(X=k)={\left(\frac{5}{6}\right)}^{k-1}\times \frac{1}{6}$

Espérance d'une variable aléatoire discrète

• L'espérance de X représente ce que X vaut en moyenne, si on recommence l'expérience un grand nombre de fois.
• Il faut remarquer que la somme infinie qui définit l'espérance pourrait fort bien ne pas converger (voir Série numérique). Cette difficulté technique ne sera pas développée ici ; on ne traitera dans les exercices que des exemples où la convergence (absolu) est assurée.

Exemple

Après n lancers successifs d'un dé équilibré, si Y est la variable aléatoire discrète donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois.

On a vu que : $p_k=p(X=k)={\left(\frac{5}{6}\right)}^{k-1}\times \frac{1}{6}$ Donc :

$E(X)=\sum _{i=1}^n{p}_i\times x_i=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{5}{6}\right)}^{i-1}\times \frac{1}{6}\times i=\frac{1}{6}\sum _{i=1}^{n}i\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^{i-1}$

En utilisant la formule :

$\sum _{i=0}^n{q}^i=\frac{1}{1-q}$

et en dérivant membre à membre (on ne posera pas ici la question de savoir si on a le droit de le faire, voir Série entière), on obtient :

$\sum _{i=1}^{n}i\times q^{i-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}$

donc en prenant $q=\frac{5}{6}$ et en remplaçant dans notre calcul :

$E(X)=\frac{1}{6}\sum _{i=1}^{n}i\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^{i-1}=\frac{1}{6}\frac{1}{(1-\frac{5}{6}{)}^2}$

$E(X)=\frac{1}{6}\frac{1}{(\frac{1}{6}{)}^2}=\frac{1}{\frac{1}{6}}=6$

Ce résultat signifie qu'en moyenne, on obtiendra le premier 6 après 6 lancers.

Variance d'une variable aléatoire discrète

• La variance de X représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance de X.
• Elle mesure la tendance de X à la dispersion autour de son espérance, de manière similaire à la variance d'une série statistique.
• Là encore, on ne s'inquiétera pas de la convergence de cette série.

Formule

Modèle:Théorème

Exemple

Calculer la variance de la v.a.d Y de l'exemple précédent.

Écart-type

• L'écart-type mesure également la tendance à la dispersion de la v.a, et ce dans les mêmes unités que celle des $x_i$ (si les $x_i$ sont des euros, $\sigma$ est en euros).
• On pourrait alors se demander quel est l’intérêt de la variance, puisqu'elle n’est pas exprimée dans la même unité que les $x_i$ ...

Une réponse à cette question est que la variance est beaucoup plus facile à manier dans les exposés théoriques grâce à l'absence de racine carrée.

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