Trigonométrie/Exercices/Relations élémentaires

Exercice 2-1

On définit deux réels $a$ et $b$ par :

$\tan a=\frac{1}{5},a\in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ ;

$\tan b=\frac{1}{239},b\in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$.

Calculer le réel $c=4a-b$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

Dans les [[../../Relations trigonométriques#Formulaire 1 : addition|formules exprimant $\cos (a+b)$ et $\sin (a+b)$]], faire successivement $b=-a$, $b=\frac{\pi }{2}-a$ et $b=\pi -a$, et exprimer les résultats obtenus. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Les relations suivantes sont-elles correctes ?

1°  $(\cos a+\cos b)(\cos a-\cos b)=\cos (a+b)\cos (a-b)$.

2°  $(\sin a+\sin b)(\sin a-\sin b)=\sin (a+b)\sin (a-b)$. Modèle:Solution

Exercice 2-4

On donne $\tan a=3$.

Calculer :

1°  $\cos 3a$

2°  $\sin 3a$

3°  $\cos 4a$

4°  $\sin 4a$

Exercice 2-5

On donne $\sin x=a$ et $\cos y=b$.

Trouver, combien a priori, il y a de valeurs pour $\sin (x+y)$.

Calculer ces valeurs.

Application : $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Exercice 2-6

On donne $\tan a=b$.

1°  Calculer $x=\cos \frac{a}{2}$, $y=\sin \frac{a}{2}$ et $z=\tan \frac{a}{2}$.

(on commencera par déterminer $z$).

2°  Combien trouve-t-on de solutions ?

3°  Montrer que, sur un cercle trigonométrique, les arcs $\frac{a}{2}$ sont les sommets d'un carré.

4°  Application : Calculer $\sin \frac{\pi }{8}$, $\cos \frac{\pi }{8}$ et $\tan \frac{\pi }{8}$, sachant que $\tan \frac{\pi }{4}=1$.

Exercice 2-7

On donne : $\cos 2a=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

Calculer : $\cos a$, $\sin a$ et $\tan a$.

Exercice 2-8

Calculer $\sin 5a$ en fonction de $\sin a=x$.

Écrire $\sin 5a=0$. Interpréter les valeurs obtenues pour $x$.