Translation et homothétie/Exercices/Pour les cracks

Exercice 7-1

Soient :

• $A$ et $B$ deux points distincts d'un plan ;
• $𝒞$ un cercle passant par $A$ et $B$ ;
• ${𝒞}_1$ et ${𝒞}_2$ deux cercles, tangents intérieurement à $𝒞$ respectivement en $A$ et $B$ et tangents entre eux en un point $M$.

La droite $(AM)$ recoupe le cercle $𝒞$ en $D$.

La droite $(BM)$ recoupe le cercle $𝒞$ en $E$.

Démontrez que les points $D$ et $E$ sont diamétralement opposés sur le cercle $𝒞$. Modèle:Solution

Exercice 7-2

Soient :

• $𝒟$ et ${𝒟}^{\prime }$ deux droites perpendiculaires en un point $O$ ;
• $P$ et $Q$ deux points de $𝒟$ tels que $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OQ}$.

On considère un point $M$ variable tout en restant équidistant de $P$ et $Q$.

Les droites $(MP)$ et $(MQ)$ coupent ${𝒟}^{\prime }$ respectivement en $A$ et $B$.

Soient $R$ et $S$ les centres des cercles circonscrits $𝒞$ et ${𝒞}^{\prime }$ respectivement aux triangles $PAO$ et $QBO$.

1°  a)  Démontrez que le quadrilatère $ORMS$ est un parallélogramme.

b)  Il existe deux homothéties qui transforment $𝒞$ en ${𝒞}^{\prime }$. Démontrez que le centre de l'une des deux est fixe et trouvez le lieu géométrique de l'autre, lorsque $M$ varie (sur la médiatrice de $[PQ]$).

2°  Les cercles $𝒞$ et ${𝒞}^{\prime }$ se coupent en $O$ et $T$. Quel est le lieu géométrique de $T$ lorsque $M$ varie ? Modèle:Solution