Transformées de Laplace usuelles

Fonction	Transformée de Laplace de la fonction
$\delta (t)$	$1$
$1$	$\frac{1}{p}$
$t$	$\frac{1}{p^2}$
$t^n\mathrm{\forall }n\ge 0$	$\frac{n!}{p^{n+1}}$
$\sqrt{t}\mathrm{\forall }t\in R_{+}$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{p^3}}$
$\frac{1}{\sqrt{t}}\mathrm{\forall }t\in R_{+}^{*}$	$\sqrt{\frac{\pi }{p}}$
$e^{-ct}$ avec ($c\ge 0$)	$\frac{1}{p+c}$
$t{e}^{-ct}$	$\frac{1}{(p+c{)}^2}$
$t^2{e}^{-ct}$	$\frac{2}{(p+c{)}^3}$
$t^n{e}^{-ct}\mathrm{\forall }n\ge 0$	$\frac{n!}{(p+c{)}^{n+1}}$
$a^t\mathrm{\forall }a>0$	$\frac{1}{p-\ln (a)}$
$\sin (at)$	$\frac{a}{p^2+a^2}$
$t\sin (at)$	$\frac{2ap}{(p^2+a^2{)}^2}$
$t^2\sin (at)$	$\frac{2a(3p^2-a^2)}{(p^2+a^2{)}^3}$
$\cos (at)$	$\frac{p}{p^2+a^2}$
$t\cos (at)$	$\frac{p^2-a^2}{(p^2+a^2{)}^2}$
$t^2\cos (at)$	$\frac{2p(p^2-3a^2)}{(p^2+a^2{)}^3}$
$\sin (at+b)$	$\frac{a\cos (b)+p\sin (b)}{p^2+a^2}$
$\cos (at+b)$	$\frac{p\cos (b)-a\sin (b)}{p^2+a^2}$
$\sinh (at)$	$\frac{a}{p^2-a^2}$
$t\sinh (at)$	$\frac{2ap}{(p^2-a^2{)}^2}$
$\cosh (at)$	$\frac{p}{p^2-a^2}$
$t\cosh (at)$	$\frac{p^2+a^2}{(p^2-a^2{)}^2}$
$\sin (at)e^{-ct}$	$\frac{a}{(p+c{)}^2+a^2}$
$\cos (at)e^{-ct}$	$\frac{p+c}{(p+c{)}^2+a^2}$
$\sin (at+b)e^{-ct}$	$\frac{a\cos (b)+(p+c)\sin (b)}{(p+c{)}^2+a^2}$
$\cos (at+b)e^{-ct}$	$\frac{(p+c)\cos (b)-a\sin (b)}{(p+c{)}^2+a^2}$
$\sinh (at)e^{-ct}$	$\frac{a}{(p+c{)}^2-a^2}$
$\cosh (at)e^{-ct}$	$\frac{p+c}{(p+c{)}^2-a^2}$
${\sin }^2(at)$	$\frac{2a^2}{p(p^2+4a^2)}$
${\sin }^3(at)$	$\frac{6a^3}{(p^2+a^2)(p^2+9a^2)}$
${\cos }^2(at)$	$\frac{p^2+2a^2}{p(p^2+4a^2)}$
${\cos }^3(at)$	$\frac{p(p^2+7a^2)}{(p^2+a^2)(p^2+9a^2)}$
${\sinh }^2(t)$	$\frac{2}{p(p^2-4)}\mathrm{\forall }p\ne 2$
${\cosh }^2(t)$	$\frac{p^2-2}{p(p^2-4)}\mathrm{\forall }p\ne 2$
$\sin (at)\sin (bt)$	$\frac{2abp}{[(p^2+(a-b{)}^2][(p^2+(a+b{)}^2]}$
$\cos (at)\cos (bt)$	$\frac{p(p^2+a^2+b^2)}{[(p^2+(a-b{)}^2][(p^2+(a+b{)}^2]}$
$\sin (at)\cos (bt)$	$\frac{a(p^2+a^2-b^2)}{[(p^2+(a-b{)}^2][(p^2+(a+b{)}^2]}$