Transformée de Laplace/Propriétés

Propriété des transformées de Laplace

Remarque : les propriétés suivantes sont appliquées à des fonctions généralisées à support positif et localement intégrables.

Dilatation du temps (changement d'échelle)

Pour un réel $k\ne 0$, on a : Modèle:Propriété

Transformée de Laplace d’un signal retardé (translation temporelle)

La transformée de Laplace du signal $x(t)$ retardé de $\tau$ est donnée par : Modèle:Propriété

Transformée de Laplace d’un signal modulé (translation fréquentielle)

La transformée de Laplace du signal $x(t)$, modulé par $e^{-at}$, est donnée par : Modèle:Propriété

Transformée de Laplace de la primitive d’un signal

La transformée de Laplace de l’intégrale d’un signal est donnée par : Modèle:Propriété

Détermination de la valeur initiale d’un signal

La valeur initiale d'un signal est obtenue en effectuant le calcul de limite suivant : Modèle:PropriétéCe théorème est applicable si $F(p)$ a une abscisse de convergence finie et si la limite dans le domaine temporel existe.

Détermination de la valeur finale d’un signal

La valeur finale d'un signal est obtenue en effectuant le calcul de limite suivant : Modèle:PropriétéCe théorème est applicable si $f$ est localement intégrable à support positif et qu'elle possède une limite finie dans le domaine temporel.

Transformée de Laplace d’un produit de convolution

Le produit de convolution de deux signaux $h(t)$ et $u(t)$ est noté $h(t)*u(t)$ et est défini par :

$h(t)*u(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(t-\tau )u(\tau )d\tau$

La transformée de Laplace du produit de convolution de deux signaux est égale au produit usuel des transformées de Laplace des signaux : Modèle:Propriété La transformée de Laplace transforme donc un produit de convolution en un produit simple.

Exemples d’application

À titre d’exemple, calculons les transformées de Laplace des signaux d’excitation (signaux d'entrée de systèmes physiques) les plus utilisés : l’impulsion, l’échelon, et les fonctions cosinus et sinus