Topologie générale/Équicontinuité

Définition de l'équicontinuité

Modèle:Définition À titre de comparaison, la quantification de la phrase suivante : « les fonctions de A sont toutes continues » s'écrit :

$\mathrm{\forall }f\in A\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }y\in B(x,\delta )d(f(x),f(y))\le \epsilon$.

Tout dépend de l'ordre des quantificateurs : pour la continuité, δ dépend de ε, de $x$ et de $f$. Pour l'équicontinuité, δ dépend seulement de ε et de $x$, alors que l'équicontinuité uniforme, la plus forte, ne fait dépendre δ que de ε.