Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C

Exercice 1

1.— Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle bornée telle que $u_{n+1}-u_n\to 0$. Montrer que l’ensemble des [[../../Suites|valeurs d'adhérence de la suite]] est un segment non vide de $ℝ$. Modèle:Solution 2.— Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ une fonction continue et $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0\in [0,1]$ et la relation $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+1}=f(u_n)$. Montrer que la suite converge si (et bien sûr seulement si) $u_{n+1}-u_n\to 0$. Modèle:Solution

Exercice 2

Soit $G$ un sous-groupe additif non nul de $ℝ$. On note $G^{+}$ l'ensemble (non vide et minoré) des éléments strictement positifs de $G$ et $a$ sa borne inférieure.

1. Montrer que si $a>0$ alors $G=a\mathbb{Z}$.
2. Montrer que si $a=0$ alors $G$ est dense dans $ℝ$.
3. Décrire les sous-groupes fermés de $ℝ$.
4. Soit $\lambda \in ℝ$. Montrer que le sous-groupe $G=\mathbb{Z}+\lambda \mathbb{Z}$ est dense dans $ℝ$ si et seulement si $\lambda \notin \mathbb{Q}$.

Exercice 3

1. Quels sont les sous-groupes multiplicatifs non denses de ${ℝ}_{+}^{*}$ ? (Indication : regarder l'image par $\ln$ et utiliser l'exercice précédent). En déduire les sous-groupes multiplicatifs non denses de ${ℝ}^{*}$.
2. Montrer qu'un sous-groupe multiplicatif de $U:=\{z\in ℂ\mid |z|=1\}$ est soit cyclique d'ordre fini, soit dense dans $U$. (Indication : utiliser l'application $x\mapsto \exp (\mathrm{i}x)$.)
3. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(\cos n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est $[-1,1]$.

Exercice 4

Déterminer toutes les applications $f:ℝ\to ℝ$ telles que

$\mathrm{\forall }x,y\in ℝf(x+f(y))=f(x+y)$

et, parmi elles :

• toutes celles qui sont continues ;
• des exemples simples de solutions non continues.

Exercice 5

Déterminer, pour tous les sous-ensembles de $ℝ$ suivants, si ce sont des ouverts, des fermés, les deux, ou ni l'un ni l'autre. Donner également leurs intérieurs, adhérences et frontières.

1. $\{x\}$ où $x\in ℝ$.
2. $]0,1]$.
3. $]0,1]\cup \{2\}$.
4. $]0,1[\cup ]3,7[$.
5. ${ℝ}^{+*}$.
6. $\mathbb{Q}$.

Exercice 6

Décrire géométriquement les 7 ensembles suivants de ${ℝ}^2$ et dire s'il s'agit d'une partie ouverte, fermée, les deux, ou ni l'un ni l'autre. On utilisera la définition uniquement, à partir des boules ouvertes pour la distance euclidienne.

1. $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |x|\ne 1,|y|\ne 1\}$.
2. $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |x|=1,|y|\ne 1\}$.
3. $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |x|=1,|y|=1\}$.
4. $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 3x+4y=2\}$.
5. $U:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2+y^2<4\}$.
6. $V:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 2x+y>0\}$.
7. $U\cap V$.

Modèle:Solution Soit $f:{ℝ}^n\to ℝ$ une fonction continue. Montrer que l'ensemble $O:=\{x\in {ℝ}^n\mid f(x)>0\}$ est ouvert et en déduire que l'ensemble $F:=\{x\in {ℝ}^n\mid f(x)=0\}$ est fermé. Retrouver ainsi que toute droite de ${ℝ}^n$ est fermée. Modèle:Solution Déterminer (en justifiant) si les sous-ensembles de ${ℝ}^2$ ci-dessous sont ouverts, fermés, bornés, compacts :

$A=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2-y^2\le 1\},B=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2+y^2=1\}$,

$C=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid \sin (x^2+y^2)\ge 0\},D=\{((1+\cos t)\cos t,(1+\cos t)\sin t)\mid t\in ℝ\}$. Modèle:Solution

Décrire géométriquement les 6 parties suivantes de ${ℝ}^2$ et dire pour chacune d'elles si c'est un ouvert, un fermé, ou ni l'un ni l'autre.

1. $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid xy=1\}$ ;
2. $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 0<|x-1|<1\}$ ;
3. $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |x|<1,|y|\le 1\}$ ;
4. $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 3x+4y=2\}$ ;
5. $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid 0<x\le 1\}$ ;
6. $\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |x|\ne 1\text{ et }|y|\ne 1\}$.

Exercice 7

Soit $(x_m)$ constituée en intercalant de façon arbitraire toutes les valeurs de deux suites réelles $(a_r)$, $(b_s)$ (par exemple : $x_{2n}=a_n,x_{2n+1}=b_n$). Démontrer que

$\mathrm{lim\; inf}(x_m)=\min (\mathrm{lim\; inf}(a_r),\mathrm{lim\; inf}(b_s))$ et $\mathrm{lim\; sup}(x_m)=\max (\mathrm{lim\; sup}(a_r),\mathrm{lim\; sup}(b_s))$.

Exercice 8

Soient $a_n\in {ℝ}^{+}$, montrer que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n=0\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$. Modèle:Solution Modèle:Bas de page