Topologie générale/Exercices/Propriété de Baire

Exercice 1

Démontrer que si $f$ est une [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Classes de régularité|fonction CModèle:Exp]] telle que $\mathrm{\forall }x\in ℝ\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}{f}^{(n)}(x)=0$, alors c'est un polynôme. Modèle:Solution

Exercice 2

Soit $f:[0,+\mathrm{\infty }[\to ℝ$ une fonction continue. On suppose que pour tout $a>0$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(na)=0$. Montrer que $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$.

Indication : pour $\epsilon >0$, on pourra appliquer le théorème de Baire aux ensembles $F_p=\{x\in [0,+\mathrm{\infty }[\mid \mathrm{\forall }n\ge p|f(nx)|\le \epsilon \}$. Modèle:Solution