Topologie générale/Exercices/Compacité

Exercice 1

Redémontrer à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass les théorèmes suivants du cours, dans le cas particulier où X est un espace métrique :

1. Toute partie compacte de X est fermée.
2. Si X est compact alors toute partie fermée de X est compacte.
3. La réunion de deux parties compactes de X est compacte.
4. Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de X est compacte.
5. L'image d'un compact, par une application continue à valeurs dans X (séparé), est compacte.

Exercice 2

Redémontrer à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass le théorème suivant du cours, dans le cas particulier où I est dénombrable et les XModèle:Ind sont des espaces métriques :

Si les XModèle:Ind sont compacts alors ∏Modèle:IndXModèle:Ind est compact.

Exercice 3

Soient X et Y deux espaces topologiques, A une partie quasi-compacte de X, B une partie quasi-compacte de Y, et O un ouvert de X×Y contenant A×B.

1. Montrer que si A est un singleton alors O contient un ouvert élémentaire U×V contenant A×B.
2. Généraliser cette conclusion pour A (quasi-compact) quelconque.
3. Déduire de la question 1 que si Y est quasi-compact alors, pour tout x ∈ X, tout ouvert de X×Y contenant la partie {x}×Y contient un ouvert élémentaire U×Y contenant cette partie (c'est le « lemme du tube »).
4. En déduire le cas particulier suivant du théorème de Tychonoff : tout produit fini d'espaces quasi-compacts est quasi-compact.
5. Déduire de la question 2 que dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.

Exercice 4

Soient $T$ un espace compact et $f:{ℝ}^n\times T\to ℝ$ une application continue. On définit $F:{ℝ}^n\to ℝ$ par : $F(z)=\underset{t\in T}{\sup }f(z,t)$.

1. Démontrer que $F$ est continue. Que peut-on dire alors de $F([-1,1{]}^n)$ ?
2. Pour $n=2$, $T=[-1,1]$ et $f(x,y,t)=x{t}^2+yt$, vérifier ces propriétés par le calcul.

Exercice 5

Lemme de Lebesgue. — Démontrer directement (sans passer par la compacité séquentielle) que tout recouvrement ouvert d'un espace métrique compact possède un nombre de Lebesgue. Modèle:Solution