Topologie générale/Espace topologique

Dans cette partie, on définit la notion de topologie sur un ensemble et d'espace topologique. On donne par ailleurs quelques exemples fondamentaux.

Introduction

De la même manière qu'en algèbre générale, les notions de groupes, d'anneaux et de corps généralisent ce que nous savons de l'addition des réels à des structures plus abstraites, voire exotiques, la structure d'espace topologique permet de généraliser celle d'espace euclidien à des objets mathématiques de nature totalement différente (espace de nombres, espaces fonctionnels, etc.). L'intuition géométrique joue un grand rôle en topologie, bien qu’il faille toujours se méfier des dessins (dont la pertinence est limitée quand il s'agit de représenter des espaces de dimension infinie).

On définit donc la structure de base de la topologie : l'espace topologique, défini comme la donnée d’un ensemble $X$, et d’une topologie sur $X$, c'est-à-dire un ensemble de sous-ensembles de $X$ vérifiant certaines propriétés, dont les éléments sont appelés ouverts. Intuitivement, un ouvert correspond à un ensemble qui ne contient pas sa « frontière ».

Définitions fondamentales

Modèle:Définition Il est important de noter qu'une partie de $X$ qui n’est pas ouverte, n’est pas fermée pour autant (et inversement). De plus, ces deux propriétés ne sont pas incompatibles : une partie de $X$ peut être à la fois ouverte et fermée. Par exemple :

• dans toute topologie, $X$ et $\varnothing$ sont tous deux des ouverts, et le complémentaire l'un de l'autre ; ils sont donc également fermés ;
• dans la topologie discrète (voir ci-dessous), toute partie de $X$, donc tout ouvert, est fermé ;
• voir [[../Connexité/]].

On montrera [[../Exercices/Espaces topologiques|en exercice]] qu'il est possible de définir une topologie avec la donnée des voisinages, si cette donnée vérifie les quatre propriétés ci-dessus et une cinquième, plus compliquée.