Topologie générale/Espace produit

Cas d'un produit fini

Si $((X_1,{𝒯}_1),\dots ,(X_n,{𝒯}_n))$ est une famille finie d'espaces topologiques, une base d'ouverts du produit est simplement :

$\{U_1\times \dots \times U_n\mid \mathrm{\forall }i\in [[1,n]]U_i\in {𝒯}_i\}$.

Cas d'un produit d'espaces identiques

Si tous les $(X_i,T_i)$ (pour $i\in I$) sont égaux à un même espace topologique $(E,𝒯)$, leur produit est noté $E^I$.

Une suite ${(f(n))}_{n\in \mathbb{N}}$ d'éléments de $E^I$ — c'est-à-dire d'applications de $I$ dans $E$ — converge pour la topologie produit si et seulement si elle converge simplement, c'est-à-dire si pour tout $i\in I$, la suite ${(f(n{)}_i)}_{n\in \mathbb{N}}$ (à valeurs dans $E$) converge. C'est pourquoi cette topologie sur $E^I$ est appelée la « topologie de la convergence simple ».

Puissance n-ième d'un espace

Si $(X_1,{𝒯}_1),\dots ,(X_n,{𝒯}_n)$ sont égaux à un même espace $(E,𝒯)$, leur produit est noté $E^n$.

La topologie sur ℝⁿ construite de cette façon à partir de celle de ℝ est sa topologie usuelle.

Plus généralement, si $(E,\Vert \cdot \Vert )$ est un espace vectoriel normé, la topologie produit sur $E^n$ coïncide avec celle associée à la norme $N$ sur $E^n$ définie par $N(x_1,\dots ,x_n)=\max (\Vert x_1\Vert ,\dots ,\Vert x_n\Vert )$. Cette coïncidence s'étend d'ailleurs aux [[../Espace métrique|espaces métriques]].

Le carré (cas n = 2) d'un espace topologique quelconque permet de reformuler la propriété de séparation : Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante