Topographie de champ/Équipotentielles

On s'intéresse désormais aux champs scalaires, qui associent à tout point du plan ou de l'espace un nombre réel ou complexe. Nous allons introduire la notion de surface équipotentielles, dont le nom est d'origine historique mais souvent justifié.

Définition

Une carte d'équipotentielles.

Représentation

Une surface équipotentielle du potentiel de Roche, en 3D et projetée sur un plan.

Un nombre modéré d'équipotentielles est tracé, et la valeur du potentiel associée indiquée. Pour ce qui est des situations planes, cependant, l’utilisation des équipotentielles est combinée à l’utilisation de la couleur, de modèles tridimensionnels ou même des deux — d'autant plus que les outils informatiques facilitent une telle chose. En pratique, seuls les cas de problèmes utilisant trois dimensions (ou plus) nécessitent réellement les surfaces équipotentielles.

Exemple

Prenons le potentiel électrostatique créé par un dipôle : $V(M)=\frac{qd\cos \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$ On cherche l’expression des courbes satisfaisant l'équation V = V₀, donc :

$V(M)=\frac{qd\cos \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=V_0$

$\frac{\cos \theta }{r^2}=\frac{4\pi {\epsilon }_0{V}_0}{qd}={\mathrm{C}}^{\mathrm{t}\mathrm{e}}$

Si le signe de V₀ est le même que le signe de $\cos \theta$, alors on peut trouver une équipotentielle en résolvant cette équation.