Théorie des groupes/Théorèmes de Sylow

Les théorèmes de Sylow sont d'une grande importance dans l'étude des groupes finis.

Ils concernent les p-sous-groupes, autrement dit, les sous-groupes ayant pour ordre une puissance d'un nombre premier p donné. Le premier théorème affirme l’existence d'un sous-groupe dit de Sylow, un sous-groupe dont l’ordre est la plus grande puissance de p divisant le cardinal de G. Le deuxième théorème permet une information supplémentaire sur leur quantité. Il s'appuie sur l'équation aux classes.

On donnera dans ce chapitre une démonstration des théorèmes de Sylow qui repose sur l'algèbre linéaire. Le lecteur trouvera dans les exercices une démonstration indépendante de l'algèbre linéaire.

Les p-groupes

Dans tout le chapitre, p désigne un nombre premier.

Les premiers exemples de p-groupe fini sont les groupes cycliques d'ordre pⁿ. Par le [[../Groupes commutatifs finis, 1#Décomposition d'un groupe commutatif fini en somme directe de groupes cycliques|théorème de classification des groupes abéliens finis (qui sera démontré dans la suite de ce cours)]], les p-groupes finis commutatifs sont exactement les produits directs de groupes cycliques d'ordre pⁿ. La structure des p-groupes non commutatifs est beaucoup plus complexe. Ils ne sont pas « classifiés » et rien ne laisse espérer qu’ils le soient un jour. Indiquons cependant quelques propriétés.

En particulier, tout groupe d'ordre 4 est cyclique ou est un [[../Groupes alternés#Sous-groupes distingués des groupes alternés|groupe de Klein]].

Premier théorème de Sylow

Remarque. On n'exclut pas le cas où p ne divise pas l’ordre de G. Dans ce cas, le seul p-sous-groupe de Sylow de G est 1. Si on s'interdisait de parler des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini d'ordre non divisible par p, on alourdirait inutilement certains énoncés et certaines démonstrations.

Remarque préliminaire : Le groupe $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ muni de la multiplication est un corps de cardinal p. (Voir chapitre [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]].)

Comme rappelé dans le chapitre [[../Groupes linéaires/]], on démontre en algèbre que les corps finis sont classifiés selon leurs cardinaux : à isomorphisme près, il existe un unique corps de cardinal $r=p^m$ ($m\ge 1$), noté ${𝐅}_r$. D'après le chapitre [[../Groupes linéaires/]], le groupe GL(n, p) est un groupe fini dont le cardinal est :

$(p^n-1)(p^n-p)\cdots (p^n-p^{n-1})=p^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot (p^n-1)(p^{n-1}-1)\cdots (p-1)=p^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot \prod _{k=1}^n(p^{n-k+1}-1).$

Puisque $p$ est un nombre premier qui ne divise aucun des facteurs $p^n-1$, $p^{n-1}-1$, ..., $p-1$, il ne divise pas leur produit et par conséquent est premier avec $(p^n-1)(p^{n-1}-1)\cdots (p-1)$. Il en résulte que la valuation p-adique de l'ordre du groupe GL(n, p) est $\frac{n(n-1)}{2}$. Or il se trouve que l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille n à coefficients dans ${𝐅}_p$ et avec des 1 sur la diagonale est un sous-groupe de G, d'ordre $p^{\frac{n(n-1)}{2}}$. En effet, il y a $p^{n-1}$ valeurs possibles pour la première ligne d'une telle matrice, $p^{n-2}$ pour la deuxième, ..., $p$ pour l'avant-dernière et une seule pour la dernière. Le premier théorème de Sylow est donc confirmé dans cet exemple. Modèle:Lemme

Il résulte du théorème de Cauchy qu'un groupe fini G est un p-groupe fini si et seulement chaque élément de G a pour ordre une puissance de p. De façon générale, Modèle:Définition La remarque précédente montre que cette définition est cohérente avec celle d'un p-groupe fini donnée initialement.

Deuxième théorème de Sylow

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration Remarques. 1) On trouvera dans les exercices une forme plus forte du théorème de congruence de Sylow, selon laquelle, sous certaines hypothèses, le nombre des p-sous-groupes de Sylow est congru à 1 modulo une plus grande puissance de p que la première. Cette forme forte n'est pas toujours mentionnée dans les exposés d'initiation, mais elle est d'un usage fréquent.

2) Le théorème de congruence de Sylow a aussi été renforcé dans une autre direction par L. Weisner : soit G un groupe fini, soit p un nombre premier, soit $G_0$ un p-sous-groupe de G, soit s un nombre naturel tel que l'ordre de $G_0$ divise $p^s$ et que $p^s$ divise l'ordre de G. Alors le nombre des sous-groupes d'ordre $p^s$ de G qui contiennent $G_0$ est congru à 1 modulo p.

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration Remarque. Ce théorème servira dans l'étude des [[../Groupes nilpotents|groupes nilpotents finis]].