Théorie des groupes/Théorème de Gaschütz
Complément d'un sous-groupe
Rappelons la définition d'un complément, qui a été donnée au chapitre [[../Produit semi-direct|Produit semi-direct]] :
Modèle:Définition Si G = HK, on a aussi G = KH (passer aux inverses, ou encore utiliser le fait, démontré dans la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], que si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, alors HK = KH si et seulement si HK est un sous-groupe de G). Donc si K est un complément de H, H est un complément de K.
On vérifie facilement que K est un complément de H dans G si et seulement si K est une transversale droite (resp. gauche) de H dans G.
Démonstration. Voir [[../Exercices/Théorème de Gaschütz|exercices]].
Argument de Frattini
Théorème de Gaschütz
Énoncé
Démonstration
La démonstration qui suit est essentiellement celle que donnent Kurzweil et Stellmacher, qui en créditent G. Glauberman[1].
Notons tout d’abord que, puisque K est normal dans G, il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite modulo K. On peut donc parler d'éléments congrus entre eux modulo K. En revanche, puisque U n’est pas supposé normal dans G, il faut dire explicitement si on considère une classe à gauche ou à droite modulo U.
Démontrons la partie (a) de l'énoncé.
Démontrons maintenant la partie (b) de l'énoncé.
Forme faible du théorème de Schur-Zassenhaus
Dans le chapitre suivant, on verra que le théorème de Schur-Zassenhaus reste vrai si on ne suppose pas K commutatif.
On trouvera dans les exercices du présent chapitre une autre démonstration de la forme faible (K commutatif) du théorème de Schur-Zassenhaus.
Notes et références
- ↑ H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, p. 71, n. 13, et pp. 71-76.