Théorie des groupes/Premiers résultats sur les groupes simples

Introduction

On va donner ici quelques théorèmes sur les [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient#Notion de groupe simple|groupes simples]], qui nous permettront notamment de prouver dans les exercices que tout groupe simple non commutatif d'ordre < 168 est isomorphe à A₅.

Commençons par une remarque banale : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration

Utilisation des opérations d'un groupe sur certains ensembles

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration Remarque. La forme faible du théorème 5 (G est isomorphe à un sous-groupe transitif de A_n), et même une forme encore plus faible (G est isomorphe à un sous-groupe de A_n) suffit déjà dans bon nombre d'applications, mais la forme forte (l'opération de G par conjugaison sur l’ensemble de ses p-sous-groupes de Sylow est équivalente à l'opération naturelle d'un sous-groupe transitif de A_n) peut rendre des services que la forme faible ne rend pas. Supposons par exemple que les p-sous-groupes de Sylow de G aient deux à deux des intersections triviales. On a vu dans les exercices de la série [[../Exercices/Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]] qu'un élément de G dont l’ordre est une puissance de p normalise un p-sous-groupe de Sylow P de G si et seulement s'il appartient à P. Cela revient à dire que dans l'opération de G par conjugaison sur l’ensemble E de ses p-sous-groupes de Sylow, un élément x de G dont l’ordre est une puissance de p fixe un élément P de E si et seulement x appartient à P. Puisque nous supposons que les p-sous-groupes de Sylow de G ont deux à deux des intersections triviales, il en résulte que dans l'opération de G par conjugaison sur l’ensemble E de ses p-sous-groupes de Sylow, un élément non neutre de G dont l’ordre est une puissance de p fixe un et un seul élément de E. Il résulte donc de la forme forte du théorème que (si les p-sous-groupes de Sylow de G ont deux à deux des intersections triviales) G est isomorphe à un sous-groupe transitif H de A_n possédant la propriété suivante : tout élément non neutre de H dont l’ordre est une puissance de p fixe un et un seul élément de {1, 2, ..., n}. Ce fait peut être utilisé, par exemple, dans la démonstration du théorème selon lequel tout groupe simple d'ordre 360 est isomorphe à A₆.

Remarque. Ce théorème entraîne qu'un sous-groupe propre d'un groupe simple G ne peut pas être d'indice trop petit par rapport à l’ordre de G.

Remarque. Si n est pair, p est égal à 2 et nous retrouvons un théorème déjà démontré (même pour un groupe G infini) : tout sous-groupe d'indice 2 est distingué.

Utilisation des théorèmes de Sylow

On va donner un exemple de la façon dont, en raisonnant sur les sous-groupes de Sylow (autrement qu'on ne l'a fait dans la démonstration du théorème 5), on peut prouver, pour certains nombres naturels n, qu’il n'existe pas de groupe simple d'ordre n.

Utilisation du théorème du complément normal de Burnside

Soit G un groupe fini dont l'ordre admet au moins deux facteurs premiers, soit p un facteur premier de l'ordre de G. Supposons qu'un p-sous-groupe de Sylow P de G soit central dans son normalisateur N_G(P). Alors, d'après le [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|théorème du complément normal de Burnside]], P admet un complément normal dans G et G n'est donc pas simple.

Comme on l'a vu dans le chapitre théorique [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|Transfert, théorème du complément normal de Burnside]] et dans [[../Exercices/Transfert, théorème du complément normal de Burnside|les exercices correspondants]], cela permet de prouver que, sous certaines conditions ne dépendant que du nombre naturel n, il n'existe pas de groupe simple d'ordre n.