Théorie des groupes/Lois de composition internes, monoïdes

Loi de composition interne

Modèle:Définition En toute rigueur, le magma (E, $\star$) est distinct de l’ensemble sous-jacent E, mais on commet souvent l'abus de langage de les identifier.

On verra plus loin des exemples de morphismes entre des magmas d'un type particulier, les monoïdes. En fait, la notion générale de magma servira très peu dans ce cours et uniquement dans la situation suivante : devant prouver qu'un ensemble G muni d'une loi de composition interne est un groupe (notion encore à définir), on prouvera que, comme magma, G est isomorphe à un groupe, ce qui entraîne que G est un groupe.

Modèle:Définition Si X est une telle partie de M, alors X, muni de la loi de composition interne induite $(x,y)\mapsto x\star y$, est un magma. Ce magma est appelé, tout comme la partie X, un sous-magma de M. (Autrement dit, on commet l'abus, signalé plus haut, d'identifier un magma et son ensemble sous-jacent.)

On voit que si une loi est associative, les parenthèses peuvent être omises sans ambiguïté : on écrit $x\star y\star z$ plutôt que $(x\star y)\star z$ ou $x\star (y\star z).$

Une loi associative est souvent notée multiplicativement, c'est-à-dire qu'on écrit $xy$ au lieu de $x\star y$. On peut aussi la noter additivement, c'est-à-dire écrire $x+y$ au lieu de $x\star y$, mais on préfère en général réserver la notation additive aux lois associatives et commutatives.

Un élément neutre pour une loi notée multiplicativement est généralement noté 1. Un élément neutre pour une loi notée additivement est généralement noté 0.

Une loi de composition interne admet au plus un élément neutre.

Monoïdes

Exemples. L'ensemble des nombres naturels, muni de l'addition usuelle, est un monoïde dont le neutre est 0; nous appellerons ce monoïde le monoïde additif des nombres naturels. L'ensemble des nombres naturels, muni de la multiplication usuelle, est un monoïde dont le neutre est 1; nous appellerons ce monoïde le monoïde multiplicatif des nombres naturels.

Dans la suite, E désigne un monoïde et sa loi de composition est notée sous forme multiplicative, c'est-à-dire que nous écrirons $xy$ pour désigner le composé noté plus haut $x\star y$. L'élément neutre est alors désigné par 1. Remarquons qu'E est non vide.

On dit donc « le » symétrique de x. Il est clair que le symétrique du symétrique de x est x lui-même. En notation multiplicative : $(x^{-1}{)}^{-1}=x.$

Modèle:Définition Si X est une telle partie de M, alors X, muni de la loi de composition interne $(x,y)\mapsto x\star y$, est un monoïde dont le neutre est égal au neutre de M.

Remarque. Si M est un monoïde et S un sous-magma de M, S peut être un monoïde sans être un sous-monoïde de M. C'est le cas par exemple si M est le monoïde multiplicatif des nombres naturels et S le singleton {0}.

On vérifie facilement que dans un monoïde, le produit de deux élément commutant avec un élément a commute lui aussi avec a. (L'associativité joue un rôle dans la démonstration.) Comme le neutre commute avec tout élément, l'ensemble des éléments d'un monoïde M commutant avec un élément donné a de M est donc un sous-monoïde de M. Ce sous-monoïde de M est appelé le commutant de a. (Nous verrons que, quand le monoïde M est un groupe, on dit « centralisateur » plutôt que « commutant ».)

Composé d'une séquence (finie) d'éléments d'un monoïde

Modèle:Loupe On peut définir récursivement le composé (« produit » dans notre notation) $\prod _{i\in I}{x}_i$ d'une séquence d'éléments de E — c'est-à-dire d'une famille indexée par un ensemble fini totalement ordonné — de telle manière que le produit de la famille vide soit l'élément neutre et que

$x_1\dots x_{n+1}=(x_1\dots x_n)x_{n+1}$.

On démontre alors :

• un théorème d'associativité selon lequel, dans un monoïde, un produit $x_1\dots x_n$, évalué par cette définition ou en plaçant les parenthèses de n'importe quelle autre façon, donnera le même résultat (par exemple : $((ab)c)d=(a(bc))d=(ab)(cd)=a((bc)d)=a(b(cd))$).
• un théorème de commutativité selon lequel, dans un monoïde commutatif (ou plus généralement, pour une famille dont les éléments commutent deux à deux) le composé d'une famille finie ne dépend pas de l'ordre choisi sur l'index de cette famille.

On démontre également le lemme suivant, qui nous servira au [[../Produit de groupes|chapitre « Produit de groupes »]] :

Remarque

C'est vrai a fortiori dans l'hypothèse plus forte où tous les éléments x₁, … , x_n, y₁, … , y_n commutent deux à deux. Dans ce cas, l'énoncé est un cas particulier du théorème de commutativité.

On a alors a^{m + n} = a^m aⁿ et $a^{mn}={(a^m)}^n$ pour tout élément a de M et tous nombres naturels m et n.

Si M est un monoïde et a un élément de M, tout sous-monoïde de M comprenant a comprend toutes les puissances aⁿ de a, avec n naturel. En appliquant cela au commutant d'un élément b de M, nous trouvons que si un élément b de M commute avec un élément a, alors b commute avec aⁿ pour tout nombre naturel n.