Théorie des groupes/Holomorphe d'un groupe

Rappels

Rappelons quelques faits déjà exposés dans le chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]].

Soit G un groupe. Nous désignerons par $S_G$ le groupe symétrique de l’ensemble sous-jacent à G. Rappelons que, pour un ensemble X, nous avons défini le groupe symétrique S_X de X comme l’ensemble des permutations de X, muni de la loi de groupe (f, g) ↦ f ∘ g : x ↦ f(g(x)).

Pour tout élément g de G, x ↦ gx définit une permutation de G, qu'on appellera la translation gauche de G par g. Les translations gauches de G forment un sous-groupe de S_G, qu'on appellera le groupe des translations gauches de G. L'application de G dans le groupe des translations gauches de G qui pour tout élément g de G envoie g sur la translation gauche de G par g est un isomorphisme de G sur le groupe des translations gauches de G. Nous noterons cet isomorphisme l (de left, gauche en anglais) et l'écrirons en exposant.

De même, pour tout élément g de G, x ↦ xg définit une permutation de G, qu'on appellera la translation droite de G par g. Les translations droites de G forment un sous-groupe de S_G, qu'on appellera le groupe des translations droites de G. L'application de G dans le groupe des translations gauches de G qui pour tout élément g de G envoie g sur la translation droite de G par g^–1 (noter l'inversion de G) est un isomorphisme de G sur le groupe des translations droites de G. Nous noterons cet isomorphisme r (de right, droit en anglais) et l'écrirons en exposant. Modèle:Définition Notons que si une translation (gauche ou droite) de G a un point fixe, cette translation est la permutation identique de G. En effet, si par exemple la translation gauche g^l fixe un point x, alors gx = x, donc g = 1, donc g^l est la permutation identique de G.

Définition de l'holomorphe d'un groupe

Pour un groupe G, on désignera par Aut(G), ou encore Aut G, le groupe des automorphismes de G (sous-groupe de S_G).

Modèle:Définition

Popriétés

Modèle:Exemple

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Remarque. Puisque G^l est isomorphe à G, le théorème qui précède montre que tout groupe G peut être plongé dans un groupe H tel que tout automorphisme de G soit la birestriction à G d'un automorphisme intérieur de H.