Théorie des groupes/Groupes dicycliques

Dans ce chapitre, nous allons définir les groupes dicycliques, dont le groupe des quaternions et les groupes quaternioniens généralisés constituent des cas particuliers importants.

Définition et table de multiplication des groupes dicycliques

Remarques. 1° Puisqu'un groupe cyclique d'ordre pair comprend un seul élément d'ordre 2, la condition bModèle:Exp = a^ord(a)/2 revient à dire que bModèle:Exp est égal à l'unique élément d'ordre 2 du sous-groupe engendré par a.

2° Selon notre définition, un groupe cyclique d'ordre 4 est un groupe dicyclique (prendre pour a l'unique élément d'ordre 2 et pour b un des deux éléments d'ordre 4). Nous donnerons plus loin des exemples moins triviaux. Certains auteurs, d'ailleurs, excluent les groupes cycliques d'ordre 4 des groupes dicycliques.

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut Puisque bModèle:Exp = a^ord(a)/2 et que a^ord(a)/2 est d'ordre 2, b est d'ordre 4. Si tout d’abord l’ordre de a est > 2, la relation bModèle:Expab = aModèle:Exp montre que b ne commute pas avec a et n'est donc pas une puissance de a. Si maintenant l’ordre de a est 2, alors b, dont l’ordre est égal à 4, ne peut pas être une puissance de a. Modèle:BDfin

Dans le lemme qui suit, le point c) (qui peut être considéré comme fournissant une « table de multiplication » du groupe G) ne doit pas être mémorisé.

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut Démontrons d’abord le point b). Puisque x ↦ bModèle:Expxb définit un automorphisme de G, l'hypothèse bModèle:Expab = aModèle:Exp entraîne

(1) bModèle:Expa^kb = aModèle:Exp

pour tout entier rationnel k. En particulier, b normalise ⟨a⟩. Puisque a et b sont supposés engendrer G, il en résulte que

G = ⟨a⟩⟨b⟩,

donc tout élément de G est de la forme

aⁱ b^j

avec i et j entiers rationnels. D'après le lemme 1, b est d'ordre 4 donc, dans l’expression b^j, j peut être remplacé par son reste par 4. Autrement dit, on peut prendre j tel que 0 ≤ j ≤ 3. Si j est égal à 2, alors (d'après l'hypothèse bModèle:Exp = aⁿ) b^j peut être remplacé par aⁿ et si j est égal à 3, b^j peut être remplacé par aⁿ b. Cela montre que tout élément de G est de la forme

aⁱ b^j

avec i entier rationnel et j ∈ {0, 1}. Puisque a est supposé d'ordre 2n, i peut être remplacé par son reste par 2n, ce qui prouve que tout élément de G peut s'écrire

aⁱ b ^j

avec i, j entiers naturels, 0 ≤ i ≤ 2n – 1 et 0 ≤ j ≤ 1.

Pour prouver le point b) de l'énoncé, il reste à prouver que cette écriture est unique. Soient i, iModèle:', j, jModèle:' des nombres naturels tels que 0 ≤ i, iModèle:' ≤ 2n – 1, 0 ≤ j, jModèle:' ≤ 1 et

aⁱ b ^j = a^i' b ^j'.

Il s'agit de prouver que

(thèse 2) i = iModèle:' et j = jModèle:'.

Nous avons

(3) a^i–i' = b^j–j'.

Or, du fait que bModèle:Exp appartient à ⟨a⟩ (hypothèse bModèle:Exp = aⁿ) et que b n'appartient pas à ⟨a⟩ (lemme 2), on tire facilement que, k étant un entier rationnel, b^k appartient à ⟨a⟩ si et seulement si k est pair. Donc, dans la relation (2), j – jModèle:' est pair. Puisque j et jModèle:' appartiennent tous deux à {0, 1}, on doit avoir j = jModèle:'. Dès lors, (2) donne a^i–i' = 1. Comme a est d'ordre 2n, i – iModèle:' est donc divisible par 2n. Puisque i et iModèle:' appartiennent tous deux à {0, 1, ... , 2n – 1}, on doit avoir i = iModèle:', ce qui achève de prouver notre thèse (2). Comme nous l'avons vu, le point b) de l'énoncé en résulte. Le point a) découle clairement du point b).

Démontrons le point c). De la relation (1), on tire que pour tout entier rationnel k,

$b{a}^k=a^{-k}b$.

Donc pour tout jModèle:' dans {0, 1} et tous i, iModèle:',

$(a^{i}b)(a^{i^{\prime }}{b}^{j^{\prime }})=a^i(b{a}^{i^{\prime }})b^{j^{\prime }}=a^i(a^{-i^{\prime }}b)b^{j^{\prime }}$, si bien que

pour tous j, jModèle:' dans {0, 1} et tous i, iModèle:',

(4) $(a^i{b}^j)(a^{i^{\prime }}{b}^{j^{\prime }})=a^{i+i^{\prime }(-1{)}^j}{b}^{j+j^{\prime }}$.

Puisque j et jModèle:' sont tous deux dans {0, 1}, nous avons

$j+j^{\prime }=2j{j}^{\prime }+r_2(j+j^{\prime })$,

d'où

$b^{j+j^{\prime }}=b^{2j{j}^{\prime }}{b}^{r_2(j+j^{\prime })}$

d'où, puisque $b^2=a^n$,

$b^{j+j^{\prime }}=a^{nj{j}^{\prime }}{b}^{r_2(j+j^{\prime })}$.

La relation (4) peut donc s'écrire

(4) $(a^i{b}^j)(a^{i^{\prime }}{b}^{j^{\prime }})=a^{i+i^{\prime }(-1{)}^j}{a}^{nj{j}^{\prime }}{b}^{r_2(j+j^{\prime })}$,

ce qui démontre le point c) de l'énoncé. Modèle:BDfin

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut Prouvons que 1° entraîne 2°. Si G est dicyclique, il est engendré par un élément a d'ordre fini pair 2r et un élément b tel que bModèle:Exp = a^r et bModèle:Expab = aModèle:Exp. D'après le lemme 2, point a), G est d'ordre 4r. Donc, si l'on désigne l’ordre de G par 4n, r est égal à n, donc a et b sont tels que dans l'énoncé.

Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°. D'après le lemme 2, point a), ⟨a, b⟩ est d'ordre 4n et est donc égal à G, donc G est dicyclique. Ceci prouve que 2° entraîne 1°. Nous avons aussi prouvé que dans l'hypothèse 2°, ⟨a, b⟩ = G, ce qui est la seconde assertion de l'énoncé. Modèle:BDfin

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut D'après le lemme 2, point b), il existe une (et une seule) bijection f de G sur H telle que, pour tout i dans {0, 1, ... , 2n – 1} et tout j dans {0, 1},

f(aⁱ b^j) = αⁱ β^j.

D'après la « table de multiplication » fournie par le lemme 2, point c), f est un isomorphisme de G sur H. Par définition de f, nous avons f(a) = α et f(b) = β. D'après le lemme 3, a et b engendrent G, donc f est le seul isomorphisme (et même le seul homomorphisme) qui applique a sur α et b sur β. Comme dans l'énoncé, désignons cet isomorphisme par f_α,β (a et b étant sous-entendus dans la notation).

Si g est un isomorphisme de G sur H, alors g(a) est d'ordre 2n, g(b)Modèle:Exp = g(a)ⁿ et g(b)Modèle:Exp g(a) g(b) = g(a)Modèle:Exp donc, dans les notations de l'énoncé, le couple (g(a), g(b)) appartient à E et g = f_{g(a), g(b)}. Ceci prouve que (α, β) ↦ f_α,β définit une surjection de E sur l’ensemble des isomorphismes de G sur H.

Puisque f_α,β(a) = α et f_α,β(b) = β, cette surjection est une injection et donc une bijection (de bijection réciproque g ↦ (g(a), g(b))). Modèle:BDfin

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut Cela résulte immédiatement du lemme 4 (compte tenu que d’après le lemme 3, tout groupe dicyclique est d'ordre fini divisible par 4). Modèle:BDfin

Exemples de construction des groupes dicycliques

Jusqu'ici, nous avons trouvé des conditions nécessaires auxquelles doivent satisfaire les groupes dicycliques, mais nous n'avons pas prouvé qu’il en existe (à part le cas banal des groupes cycliques d'ordre 4).

Puisque deux groupes dicycliques du même ordre sont isomorphes, on dit volontiers « le groupe dicyclique d'ordre 4n ». On le note DC_n, Dic_n ou encore Q_4n. Toutefois, la troisième notation est souvent réservée au cas où l’ordre du groupe dicyclique est une puissance de 2, cas dans lequel on adopte la définition suivante :

Pour désigner un groupe dicyclique d'ordre 4n, on adoptera ici la notation DC_n, mais on préférera la notation Q_4n si ce groupe est quaternionien généralisé. (Certains auteurs notent Q_m le groupe quaternionien généralisé d'ordre 2Modèle:Exp, mais on ne les suivra pas ici.)

Quelques traits de la structure des groupes dicycliques

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut D'après le lemme 3, DC_n est engendré par un élément a d'ordre 2n et par un élément b tels que b² = aⁿ et bModèle:Expab = aModèle:Exp. D'après le lemme 2, point b), tout élément de DC_n se met d'une et une seule façon sous la forme x = aⁱ b^j avec i ∈ {0, 1, ... , 2n – 1} et j ∈ {0, 1}. Donc tout élément x de DC_n – ⟨a⟩ est de la forme x = aⁱ b avec i ∈ {0, 1, ... , 2n - 1}. La table de multiplication fournie par le lemme 2, point c), donne

x² = aⁿ

donc (puisque aⁿ est d'ordre 2) tout élément x de DC_n – ⟨a⟩ est d'ordre 4, ce qui démontre la première assertion de l'énoncé.

Nous avons donc exactement 2n éléments d'ordre 4 en dehors de ⟨a⟩ . Si n est impair, il n'y a pas d'élément d'ordre 4 dans le groupe cyclique ⟨a⟩ (d'ordre 2n) ; si n est pair, il y en a exactement 2, d'où l'énoncé. Modèle:BDfin

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut D'après le lemme 7, DC_n contient bien plus d'éléments d'ordre 4 que D_4n donc ne lui est pas isomorphe. D'autre part, puisque DC_n contient deux éléments a et b tels que bModèle:Expab = aModèle:Exp ≠ a, il n'est pas abélien. Modèle:BDfin

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut D'après le lemme 7, les éléments de DC_n d'ordre 2 sont les éléments d'ordre 2 d'un certain sous-groupe cyclique d'ordre 2n. Il y en a donc un et un seul, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé.

Démontrons la seconde. Comme dans la preuve du lemme 7, DC_n est engendré par un élément a d'ordre 2n et par un élément b tels que b² = aⁿ et bModèle:Expab = aModèle:Exp, et tout élément de DC_n se met d'une et une seule façon sous la forme x = aⁱ b^j avec i ∈ {0, 1, ... , 2n – 1} et j ∈ {0, 1}.

Puisque a et b engendrent DC_n, x appartient au centre de DC_n si et seulement s'il commute avec a et avec b.

Dire que x commute avec b revient à dire que aModèle:Exp commute avec b. On pourrait exprimer cela à l'aide de la « table de multiplication », mais on peut dire aussi que la relation bModèle:Expab = aModèle:Exp entraîne bModèle:ExpaModèle:Expb = aModèle:Exp, de sorte que aModèle:Exp commute avec b si et seulement si aModèle:Exp = aModèle:Exp, ce qui a lieu si et seulement si k = 0 ou k = n.

D'autre part, dire que x commute avec a revient à dire que b^j commute avec a, ce qui est garanti lorsque j = 0 et équivaut, lorsque j = 1, à aModèle:Exp = a. Comme n est supposé ≥ 2, ceci n'a pas lieu. Ainsi, les seuls éléments du centre de DC_n sont a⁰ = 1 et aⁿ, ce qui achève de prouver l'énoncé. Modèle:BDfin Remarque. Du fait qu'un groupe dicyclique n'a qu'un élément d'ordre 2, on déduit facilement qu'un groupe dicyclique dont l'ordre est une puissance de 2, autrement dit un groupe quaternionien généralisé, n'a pas de décomposition non triviale en produit semi-direct, c'est-à-dire que les seules façons d'exprimer un tel groupe G comme produit semi-direct sont G⋊1 et 1⋊G.

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut D'après le lemme 7, nous pouvons choisir un sous-groupe cyclique ⟨a⟩ d'ordre 2n de DC_n tel que tout élément de DC_n – ⟨a⟩ soit d'ordre 4. Soit x un élément d'ordre 2n de DC_n. Il s'agit de prouver que ⟨x⟩ = ⟨a⟩. Puisqu'on suppose n distinct de 2, x est d'ordre distinct de 4 et, d'après ce qui précède, appartient donc à ⟨a⟩. Puisque x et a sont tout deux d'ordre 2n, on a donc ⟨x⟩ = ⟨a⟩, ce qui, comme noté, démontre l'énoncé. Modèle:BDfin

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut D'après le lemme 7, Q₈ est constitué d'un sous-groupe cyclique d'ordre 4 et de quatre éléments supplémentaires d'ordre 4, ce qui démontre la première assertion de l'énoncé.

QModèle:Ind et son sous-groupe trivial sont évidemment des sous-groupes normaux de QModèle:Ind. Soit H un autre sous-groupe de Q₈. Puisque Q₈ est d'ordre 8, H est d'ordre 2 ou 4. S'il est d'ordre 4, il est d'indice 2 dans Q₈ et donc normal. S'il est d'ordre 2, alors, d’après le théorème 9, il est seul de son ordre parmi les sous-groupes de Q₈ et est le centre de Q₈, deux raisons de conclure qu’il est [[../Sous-groupes caractéristiques|caractéristique]] et donc normal dans Q₈.

Puisque Q₈ ne comprend qu'un élément d'ordre 2, il ne contient pas de [[../Théorèmes de Sylow|sous-groupe de Klein]], [[../Théorèmes de Sylow|donc]] ses sous-groupes d'ordre 4 sont cycliques. On a vu dans les [[../Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique|exercices de la série Automorphismes d'un groupe cyclique]] que si G est un groupe et n un nombre naturel non nul, le nombre des éléments d'ordre n de G est égal à φ(n) fois le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre n de G, où la fonction φ est l'indicateur d'Euler. En faisant n = 4 (d'où φ(n) = 2), on trouve que les sous-groupes cycliques d'ordre 4 de G (autrement dit, d’après ce qui précède, ses sous-groupes d'ordre 4) sont en nombre 3. Modèle:BDfin

Remarque. Les groupes dont tous les sous-groupes sont normaux, appelés groupes de Dedekind, sont classifiés.

Automorphismes d'un groupe dicyclique

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut Le cas n = 1 étant immédiat, supposons n ≥ 2. Puisque l'ordre de α est alors différent de 2, αModèle:Exp ≠ α donc si βModèle:Expαβ = αModèle:Exp alors β ∉ ⟨α⟩ (l'hypothèse 1° devient inutile).

Montrons que réciproquement, si β ∉ ⟨α⟩ (3°) alors βModèle:Expαβ = αModèle:Exp (2°) et de plus, βModèle:Exp = αⁿ (1°). Pour prouver (1°), il nous suffira, d'après le théorème 9, de montrer que βModèle:Exp est d'ordre 2, c'est-à-dire que β est d'ordre 4.

Supposons d’abord n distinct de 2.

D'après le lemme 10, ⟨α⟩ est alors le seul sous-groupe cyclique d'ordre 2n de DC_n.

Par conséquent, d'après le lemme 2, point b), pour tous x ∈ ⟨α⟩ et y ∈ DCModèle:Ind – ⟨α⟩, on a yModèle:Expxy = xModèle:Exp. (En effet, avec les notations de ce lemme, $(a^{i}b{)}^{-1}{a}^j(a^{i}b)=b^{-1}{a}^{j}b=a^{-j}$.) En particulier :

si β ∉ ⟨α⟩ alors βModèle:Expαβ = αModèle:Exp.

De plus, si β ∉ ⟨α⟩ alors d'après le lemme 7, β est d'ordre 4.

Donc notre thèse est démontrée dans le cas où n est distinct de 2.

Supposons maintenant n égal à 2.

L'élément α est alors d'ordre 4. D'après l'hypothèse 3° et le théorème 11, β est donc aussi d'ordre 4.

D'autre part, ⟨α⟩ est d'indice 2 dans DC_n = Q₈ et est donc normal dans Q₈. (On a d'ailleurs vu au théorème 11 que tous les sous-groupes de Q₈ sont normaux.) Donc βModèle:Expαβ est égal à l'un des deux générateurs de ⟨α⟩ : α ou αModèle:Exp. De plus, puisque ⟨α⟩ est d'indice 2 dans Q₈ et que β est supposé ne pas appartenir à ⟨α⟩, α et β engendrent Q₈. D'après le corollaire 8, Q₈ n’est pas abélien donc, puisque α et β engendrent Q₈, β ne commute pas avec α et la seule possibilité restante est :

2° βModèle:Expαβ = αModèle:Exp.

Donc notre thèse est encore vraie. Modèle:BDfin

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Remarque. Ce théorème ne peut pas être étendu au cas où n = 2, comme le montre le théorème suivant.

Modèle:Théorème Modèle:BDdebut D'après le théorème 11, les éléments d'ordre 4 de Q₈ sont en nombre 6, donc les couples (α, β) d'éléments de Q₈ tels que α soit d'ordre 4 et que β n'appartienne pas à ⟨α⟩ sont en nombre 24. D'après le lemme 12, cela revient à dire que les couples (α, β) d'éléments de Q₈ tels que α soit d'ordre 2n, que β² = αⁿ et que βModèle:Exp α β = αModèle:Exp, sont en nombre 24. D'après le lemme 4, il en résulte que Aut(Q₈) est d'ordre 24.

On a vu dans les exercices de la série [[../Exercices/Groupes alternés|Groupes alternés]] que si un groupe G d'ordre 24 a un sous-groupe normal d'ordre 4 qui est son propre centralisateur dans G, G est isomorphe à S₄. Il suffit donc de prouver que

(thèse 1) le groupe Int(Q₈) des automorphismes intérieurs de Q₈ est un sous-groupe normal d'ordre 4 de Aut(Q₈) et est son propre centralisateur dans Aut(Q₈).

On a vu au chapitre [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]] que, pour tout groupe G, Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G) et est isomorphe à G/Z(G). D'après le théorème 7, Z(Q₈) est d'ordre 2, donc Int(Q₈) est d'ordre 4. Donc pour prouver notre thèse (1), il suffit de prouver que

(thèse 2) Int(Q₈) est son propre centralisateur dans Aut(Q₈).

Puisque Int(Q₈) est d'ordre 4, il est abélien et donc contenu dans son centralisateur. Tout revient donc à prouver que

(thèse 3) le centralisateur de Int(Q₈) dans Aut(Q₈) est d'ordre au plus 4.

Soit donc f un automorphisme de Q₈ centralisant Int(Q₈).

Soient a un élément d'ordre 4 de Q₈ et b un élément de Q₈ – ⟨a⟩. Rappelons (lemme 12) qu'alors,

(4) bModèle:Exp a b = aModèle:Exp.

Puisque f est supposé centraliser Int(Q₈), il commute avec l'homomorphisme intérieur γ_b : x ↦ bModèle:Exp x b de Q₈. On a donc

f(γ_b(a)) = γ_b(f(a)),

f(bModèle:Expab) = bModèle:Exp f(a) b.

D'après (4), ceci peut s'écrire

f(aModèle:Exp) = bModèle:Exp f(a) b

(5) f(a)Modèle:Exp = bModèle:Exp f(a) b.

Puisque a, et donc aussi f(a), est d'ordre 4, on en déduit (cf. début de la preuve du lemme 12) : b ∉ ⟨f(a)⟩. Ceci étant vrai pour tout élément b de Q₈ – ⟨a⟩, on doit avoir f(a) ∈ ⟨a⟩ donc (puisque f(a) est d'ordre 4)

(6) f(a) ∈ {a, aModèle:Exp}, pour tout élément a d'ordre 4 de Q₈.

Choisissons dans Q₈ un élément x d'ordre 4 et un élément y de Q₈ – ⟨x⟩. (On a vu qu'il existait 24 tels couples (x, y).) Alors y est d'ordre 4 (cf. théorème 11),

(7) ⟨x, y⟩ = Q₈

et, d’après (6), f(x) ∈ {x, xModèle:Exp} et f(y) ∈ {y, yModèle:Exp}.

Il y a donc au plus 4 automorphismes f de Q₈ centralisant Int(Q₈).

Ceci prouve la thèse (3), d'où l'énoncé. Modèle:BDfin