Théorie des groupes/Exercices/Théorème de Maschke

Problème 1

Soit p un nombre premier, soit F un corps commutatif de caractéristique p (par exemple le corps $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$), soit V un F-espace vectoriel de dimension 2, soit $(v_1,v_2)$ une base de V. Désignons par f l'endomorphisme de V qui applique $v_1$ sur $v_1+v_2$ et qui laisse $v_2$ fixe.

a) Prouver que f est un automorphisme de V et que le sous-groupe G de GL(V) engendré par f est d'ordre fini. Modèle:Clr Modèle:Solution b) Dans les notations du point a), prouver que V admet un sous-espace invariant par G qui n'a pas de supplémentaire (dans V) invariant par G et que V n'est pas complètement réductible pour G. (Cela montre que ni dans la partie 1° ni dans la partie 2° du théorème de Maschke, on ne peut supprimer l'hypothèse selon laquelle la caractéristique du corps ne divise pas l'ordre du groupe linéaire.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 2

Soit F un corps commutatif infini. Donner un exemple de la situation suivante (contre-exemple à une extension indue du théorème de Maschke) : V est un F-espace vectoriel de dimension finie, G un sous-groupe infini de GL(V), V admet un sous-espace invariant par G qui n'a pas de supplémentaire (dans V) invariant par G, V n'est pas complètement réductible pour G. (Indication : on peut s'inspirer de la solution du problème 1.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 3 (facile)

Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On suppose que V est irréductible pour G. Prouver que $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(V)\le |G|.$ Modèle:Clr Modèle:Solution