Théorie des groupes/Exercices/Représentations complexes des groupes finis, 1

Problème 1

Soit G un groupe fini. Donner une démonstration des deux remarques suivantes, énoncées dans le chapitre théorique :

1. (V4) Deux $ℂ$-représentations de G de degré n, l'une vectorielle, T, et l'autre matricielle, U, se correspondent, si et seulement si T est équivalente à la représentation vectorielle T' définie par :

   pour tout élément g de G, T'(g) est l'automorphisme de ${ℂ}^n$ de matrice U(g) dans la base canonique.

2. (M3) Deux $ℂ$-représentations matricielles de G de degré n, UModèle:Ind et UModèle:Ind, sont équivalentes si et seulement si les $ℂ$-représentations vectorielles TModèle:Ind et TModèle:Ind définies comme suit sont équivalentes :

   pour tout élément g de G, TModèle:Ind(g) est l'automorphisme de ${ℂ}^n$ de matrice UModèle:Ind(g) dans la base canonique.

Problème 2

On va construire un exemple de $ℂ$-représentation irréductible de degré 2.
a) Soit $\rho$ une racine primitive troisième de l'unité, c'est-à-dire une racine cubique de 1 distincte de 1. Cela revient à dire que $\rho$ est un élément d'ordre 3 du groupe multiplicatif du corps $ℂ$. (On peut par exemple prendre $\rho =e^{\frac{2\pi }{3}i}=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3},$ où $i^2=-1.$)
Prouver qu'il existe un et un seul homomorphisme U du groupe $S_3$ dans le groupe $\mathrm{G}\mathrm{L}(2,ℂ)$ qui applique

(1 2 3) sur $\left(\begin{array}{cc}\rho & 0\\ 0& {\rho }^{-1}\end{array}\right)$

et

(1 2) sur $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

(Indication : on peut utiliser le théorème « Homomorphismes partant d'un groupe diédral » du chapitre Groupes diédraux.) Modèle:Clr Modèle:Solution b) Prouver que U est une $ℂ$-représentation matricielle irréductible de degré 2 de $S_3$. Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. Nous avons ainsi trouvé une $ℂ$-représentation vectorielle (resp. matricielle) irréductible de degré 2 du groupe diédral $S_3$. Dans un chapitre ultérieur, nous déterminerons (à équivalence près) toutes les $ℂ$-représentations irréductibles des groupes diédraux.