Théorie des groupes/Exercices/Produit direct et somme restreinte

Problème 1 (très facile)

Soient G et H deux groupes. Quel est le centre du groupe $G\times H$ ? Justifier.

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. Il n'est pas beaucoup plus difficile de prouver que le centre de la somme restreinte (interne ou externe) d'une famille finie ou infinie de groupes est la somme restreinte des centres de ces groupes. On utilisera ce fait dans le chapitre [[../../Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux|Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux]].

Problème 2

Soient G un groupe et $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille de sous-groupes distingués de G telle que $\bigcap _{i\in I}{G}_i$ = 1. Prouver que G est isomorphe à un sous-groupe du produit $\prod _{i\in I}G/G_i$. (Voir.)

Problème 3

Soit $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille finie de groupes. Pour chaque i, soit $X_i$ une partie génératrice de $G_i$. On suppose que pour chaque i, $X_i$ comprend l'élément neutre de $G_i$.

a) Prouver que $\prod _{i\in I}{X}_i$ est une partie génératrice de $\prod _{i\in I}{G}_i$.

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque : l'énoncé a) nous servira dans un exercice de la série [[../Commutateurs, groupe dérivé|Commutateurs, groupe dérivé]].

b) Prouver par un exemple que l'énoncé a) n’est pas forcément vrai si on cesse de supposer que chaque $X_i$ comprend l'élément neutre de $G_i$.

Problème 4

Soit G un groupe fini tel que xModèle:Exp = 1 pour tout élément x de G. Prouver que G est un produit direct de groupes d'ordre 2.

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarques. 1° Nous avons vu que dans les hypothèses de l'énoncé, G est commutatif. Dès lors, puisque, par hypothèse, xModèle:Exp = 1 pour tout élément x de G, G se munit naturellement d'une structure d'espace vectoriel sur le corps à deux éléments. Comme tout espace vectoriel admet une base, on en tire facilement l'énoncé, et même que G, si on ne le suppose pas fini, est somme restreinte d'une famille de groupes d'ordre 2.
2° Plus généralement, si p est un nombre premier, si G est un groupe abélien (noté additivement) tel que, pour tout élément x de G, px = 0, alors G est le groupe additif d'un espace vectoriel V sur le corps à p éléments. D'après la théorie des espaces vectoriels, V admet une base, donc le groupe G est somme directe d'une famille (finie ou infinie) de sous-groupes d'ordre p. Voir le chapitre Groupes commutatifs finis, 1.

Problème 5

Soient G un groupe et H, K deux sous-groupes de G. En appliquant à la fonction $H\times K\to HK:(h,k)\mapsto h{k}^{-1}$ le fait que l'image d'une fonction f est équipotente à l’ensemble des classes d'équivalence pour la relation d'équivalence (en x et y) « f(x) = f(y) » (définie dans l’ensemble de départ de f), prouver que l’ensemble HK a pour cardinal l'indice d'un certain sous-groupe (à préciser) du groupe produit $H\times K$. En déduire une nouvelle démonstration de la [[../../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]].

Problème 6

a) Soient G un groupe et (G_i)_i∈I une famille de sous-groupes de G. On suppose que pour tout sous-groupe H de type fini de G, H est somme restreinte interne de la famille (H ⋂ G_i)_i∈I. Prouver que G est somme restreinte interne de la famille (G_i)_i∈I. Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque : l'énoncé a) nous servira dans le chapitre [[../../Groupes nilpotents|Groupes nilpotents]].

b) Donner un exemple de la situation suivante : G est un groupe, somme restreinte interne d'une famille $(G_i{)}_{i\in I}$ de sous-groupes, H est un sous-groupe de type fini de G et H n’est pas somme restreinte interne de la famille $(H\cap G_i{)}_{i\in I}.$ (Ceci montre que le point a) donne une condition suffisante mais non nécessaire pour que G soit somme restreinte interne de la famille $(G_i{)}_{i\in I}.$)

Problème 6

On notera additivement les groupes abéliens intervenant dans ce problème.

Soit $G$ un groupe abélien, soit $X$ une partie génératrice de $G.$

a) Pour tout élément $x$ de $X$, désignons par $H_x$ le sous-groupe $⟨x⟩=\mathbb{Z}x$ de $G$ engendré par $x.$ Prouver que $G$ est (isomorphe à) un quotient de la somme directe externe $\sum _{x\in X}{H}_x$ de la famille $(H_x{)}_{x\in X}.$

b) Prouver que $G$ est isomorphe à un quotient de la somme directe externe $\sum _{x\in X}\mathbb{Z}$ (somme directe externe d'une famille de groupes tous isomorphes à $\mathbb{Z}$).

Modèle:Solution Remarques.

1. On verra dans la suite du cours qu'un groupe (abélien) qui est somme directe interne d'une famille de groupes isomorphes à $\mathbb{Z}$ est appelé un groupe abélien libre. (Le mot « abélien » est important dans l'expression « groupe abélien libre » : une somme directe d'au moins deux groupes isomorphes à $\mathbb{Z}$ est un groupe abélien libre mais n'est pas un groupe libre au sens qu'on donnera à l'expression « groupe libre » dans [[../../Groupes libres, premiers éléments|la suite du cours]].) Avec cette définition, il résulte du point b) (et du fait que tout groupe abélien a au moins une partie génératrice, par exemple lui-même) que tout groupe abélien est isomorphe à un quotient d'un groupe abélien libre.
2. Aussi bien du point a) que du point b) (et du fait que tout groupe a au moins une partie génératrice), il résulte que tout groupe abélien est isomorphe à un quotient d'une somme directe de groupes monogènes. Ce fait nous servira dans [[../Groupes divisibles|un exercice sur le chapitre (encore à écrire) Groupes divisibles]].

Problème 7 (facile)

Dans un groupe G, soit H un sous-groupe normal Modèle:W, c'est-à-dire dont le centre est réduit à l'élément neutre et tous les automorphismes sont intérieurs.

Démontrer que G est isomorphe à H×CModèle:Ind(H). Modèle:Solution

Problème 8

Montrer que le groupe multiplicatif ${\mathbb{Q}}_{+}^{*}$ est isomorphe au groupe additif ${\mathbb{Z}}^{(\mathbb{N})}:={\oplus }_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}$ des applications de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Z}$ à support fini. Modèle:Solution