Théorie des groupes/Exercices/Intermède : groupes simples d'ordre 360

Problème 1. (Préliminaire 1 du chapitre théorique)

Soient G un groupe fini, p un nombre premier, P un p-sous-groupe de Sylow cyclique de G. Prouver que l'indice [N_G(P) : C_G(P)] divise p-1. (Indication : utiliser le [[../../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|lemme N/C]] et le chapitre [[../../Automorphismes d'un groupe cyclique|Automorphismes d'un groupe cyclique]].) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 2. (Préliminaire 8 du chapitre théorique)

Soit G un groupe simple fini d'ordre non premier, soit p un diviseur premier de $|G|$, soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. Alors le groupe $N_G(P)$ n'est pas commutatif. (Indication : on peut utiliser le [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|théorème du complément normal de Burnside]].) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 3. (Préliminaire 9 du chapitre théorique)

Tout groupe d'ordre 36 a un sous-groupe normal d'ordre 4 ou un sous-groupe normal d'ordre 9. (Indication : utiliser le [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|théorème du complément normal de Burnside]].) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 4. (Préliminaire 10 du chapitre théorique)

Soit H un groupe fini, soit p un nombre premier distinct de 2. On suppose que H contient un et un seul p-sous-groupe de Sylow, soit P, et que P est commutatif. On suppose aussi que H n'a pas d'élément d'ordre 2p. Alors, pour tout élément t d'ordre 2 de H et tout élément a de H dont l'ordre est une puissance de p,

$ta{t}^{-1}=a^{-1}.$

(Puisque t est d'ordre 2, on pourrait évidemment écrire «t» au lieu de « t^-1 », mais le fait que $ta{t}^{-1}$ soit le résultat de la conjugaison de a par t n'est pas indifférent.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 5. (Non-simplicité des groupes d'ordre 720)

On va prouver qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 720. L'essentiel de la démonstration consistera à prouver que dans un groupe simple d'ordre 720, les 3-sous-groupes de Sylow devraient être en nombre 10, isomorphes à $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ et se couper trivialement deux à deux. Cela fait, un résultat du [[../../Intermède : groupes simples d'ordre 360/|chapitre théorique]] fournira immédiatement une contradiction.

a) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que tout sous-groupe propre de G est d'ordre $\le 90.$ Modèle:Clr Modèle:Solution b) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver qu'un des deux cas suivants a lieu :

(i) les 3-sous-groupes de Sylow de G sont en nombre 10 et leurs normalisateurs dans G sont d'ordre 72;

(ii) les 3-sous-groupes de Sylow de G sont en nombre 40 et leurs normalisateurs dans G sont d'ordre 18.

Modèle:Clr Modèle:Solution c) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que G n'a pas de sous-groupe d'ordre 45 ni de sous-groupe d'ordre 90.
Indication : si H est un sous-groupe d'ordre 45 de G, raisonner sur le normalisateur dans G d'un 3-sous-groupe de Sylow de H. Utiliser la question b). Modèle:Clr Modèle:Solution d) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Soit Q un sous-groupe Q d'ordre 3 de G contenu dans plusieurs 3-sous-groupes de Sylow de G (à supposer qu'il existe un tel sous-groupe Q). Prouver que

(i)$$les 3-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les 3-sous-groupes de Sylow de $N_G(Q)$;

(ii)$$les 3-sous-groupes de Sylow de $N_G(Q)$ sont en nombre 4;

(iii)$$Q est contenu dans exactement quatre 3-sous-groupes de Sylow de G;

(iv)$|N_G(Q)|$ est égal à 36 ou à 72.

Modèle:Clr Modèle:Solution e) Soit G un groupe fini, soit $p$ un diviseur premier de $|G|$, soit $p^n$ la plus grande puissance de $p$ divisant $|G|$, soit Q un sous-groupe d'ordre $p^{n-1}$ de G contenu dans plusieurs $p-$sous-groupes de Sylow de G. Prouver que Q est un sous-groupe caractéristique de $N_G(Q)$ et en déduire que $N_G(Q)$ est son propre normalisateur dans G. Modèle:Clr Modèle:Solution f) Comme à la question d), on suppose que G est un groupe simple d'ordre 720 et Q un sous-groupe d'ordre 3 de G contenu dans plusieurs 3-sous-groupes de Sylow de G. Prouver que

$|N_G(Q)|=72.$

Indication : supposer que, par absurde, $|N_G(Q)|=36$; en utilisant un problème ci-dessus sur les groupes d'ordre 36 et [[../Groupes nilpotents/|un exercice sur le chapitre Groupes nilpotents]], prouver qu'il existe un sous-groupe H d'ordre 4 de $N_G(Q)$ tel que

$N_G(Q)<N_G(H)$ et $[N_G(H):N_G(Q)]=2$;

à l'aide de la question e), en déduire une contradiction. Modèle:Clr Modèle:Solution g) Soient G un groupe fini, $p$ un nombre premier et Q un $p$-sous-groupe de G. Prouver qu'il existe un et un seul nombre naturel $con{j}_p(Q)$ tel que chaque $p$-sous-groupe de Sylow de G contienne exactement $con{j}_p(Q)$ G-conjugués de Q. Modèle:Clr Modèle:Solution h) Soit G un groupe fini, soit $p$ un nombre premier, soit Q un $p$-sous-groupe de G, soient $P_1,\cdots ,P_r$ les différents $p$-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
Pour chaque $i$ dans $\{1,\dots ,r\},$ on désigne par $X_Q(P_i)$ l'ensemble des G-conjugués de Q contenus dans $P_i.$
Prouver que

1° l'ensemble des G-conjugués de Q normalisés par Q est contenu dans $\bigcup _{i=1}^r{X}_Q(P_i)$;

2° si Q est normal dans tout $p$-sous-groupe de Sylow de G contenant Q,

l'ensemble des G-conjugués de Q normalisés par Q est égal à $\bigcup _{i=1}^r{X}_Q(P_i).$

Modèle:Clr Modèle:Solution i) Soit G un groupe fini, soit $p$ un diviseur premier de $|G|$, soit $p^n$ la plus grande puissance de $p$ divisant $|G|$, soit Q un sous-groupe d'ordre $p^{n-1}$ de G.
On désigne par $sy{l}_{p,Q}(G)$ le nombre des $p$-sous-groupes Sylow de G contenant Q et par conj(Q) le nombre des G-conjugués de Q.
Comme à la question g), on désigne par $con{j}_p(Q)$ l'unique nombre naturel tel que chaque p-sous-groupe de Sylow de G contienne exactement $con{j}_p(Q)$ G-conjugués de Q.
Déduire de la question h) que

1°$$les G-conjugués de Q normalisés par Q sont en nombre $1+sy{l}_{p,Q}(G)\cdot (con{j}_p(Q)-1)$;

2°$1+sy{l}_{p,Q}(G)\cdot (con{j}_p(Q)-1)\le conj(Q).$

Modèle:Clr Modèle:Solution j) Soit G un groupe fini, soit $p$ un nombre premier. On note $sy{l}_p(G)$ le nombre des $p$-sous-groupes de Sylow de G. Pour tout $p$-sous-groupe T de G, on note $sy{l}_{p,T}(G)$ le nombre des $p$-sous-groupes de Sylow de G contenant T.
Comme à la question g), on note $con{j}_p(T)$ le nombre naturel tel que chaque $p$-sous-groupe de Sylow de G contienne exactement $con{j}_p(T)$ G-conjugués de T.
Soit Q un $p$-sous-groupe de G. On note conj(Q) le nombre des G-conjugués de Q.
Prouver que

$conj(Q)\cdot sy{l}_{p,Q}(G)=con{j}_p(Q)\cdot sy{l}_p(G).$

Indication : on peut évaluer de deux façons le nombre des couples (R, P), où R est un G-conjugué de Q, où P est un p-sous-groupe de Sylow de G et où R est contenu dans P. Modèle:Clr Modèle:Solution k) Comme aux questions d) et f), on suppose que G est un groupe simple d'ordre 720 et Q un sous-groupe d'ordre 3 de G contenu dans plusieurs 3-sous-groupes de Sylow de G. D'après la question g), il existe un et un seul nombre naturel $con{j}_3(Q)$ tel que chaque 3-sous-groupe de Sylow de G contienne exactement $con{j}_3(Q)$ G-conjugués de Q.
À l'aide notamment des questions i) et j), prouver que

1°$con{j}_3(Q)=1$;

2°$$le seul G-conjugué de Q normalisé par Q est Q.

Modèle:Clr Modèle:Solution l) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que les 3-sous-groupes de Sylow de G se coupent trivialement deux à deux.
Indication : si, par absurde, Q est un sous-groupe d'ordre 3 de G contenu dans plusieurs 3-sous-groupes de Sylow de G, alors, d'après la question f), $N_G(Q)=72$; en déduire, à l'aide du lemme N/C, que tout élément d'ordre 3 de Q est le carré d'un élément d'ordre 6 de G; faire opérer un tel élément d'ordre 6 par conjugaison sur l'ensemble des G-conjugués de Q; à l'aide du préliminaire 11 du [[../../Intermède : groupes simples d'ordre 360/|chapitre théorique]], en tirer une conclusion qui contredit la question k). Modèle:Clr Modèle:Solution m) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que les 3-sous-groupes de Sylow sont en nombre 10.
Indication : utiliser un théorème qu'on a appelé « congruence de Sylow à module renforcé » dans un [[../Théorèmes de Sylow/|exercice sur le chapitre Théorèmes de Sylow]]. Modèle:Clr Modèle:Solution n) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que G n'a pas d'élément d'ordre 6.
Indication : faire opérer un tel élément par conjugaison sur l'ensemble des 3-sous-groupes de Sylow de G; en utilisant la question m) et le préliminaire 11 du [[../../Intermède : groupes simples d'ordre 360/|chapitre théorique]], obtenir un résultat qui contredit la question l). Modèle:Clr Modèle:Solution o) Soit G un groupe d'ordre 720. Prouver que les 3-sous-groupes de Sylow de G sont isomorphes à $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.$
Indication : utiliser la question m); puis, si un 3-sous-groupe de Sylow de G est cyclique, lui appliquer le problème 1 (préliminaire 1 du chapitre théorique); en déduire un résultat qui contredit la question n). Modèle:Clr Modèle:Solution p) À l'aide des questions l), m) et o) et d'une conséquence qu'un théorème démontré dans le chapitre théorique permet d'en tirer, prouver qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 720. Modèle:Clr Modèle:Solution

Notes et références

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