Théorie des groupes/Exercices/Groupes linéaires

Problème 1

Soit K un corps commutatif, soient $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $m\le n.$ Prouver que le groupe GL(m, K) peut être plongé dans le groupe GL(n, K) (c'est-à-dire qu'il existe un homomorphisme injectif de GL(m, K) dans GL(n, K), ce qui revient encore à dire que GL(n, K) a un sous-groupe isomorphe à GL(m, K). Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 2

Soit K un corps commutatif, soit $n$ un nombre naturel $\ge 1.$ Prouver que GL(n, K) est abélien si et seulement si $n$ est égal à 1.
Indication : si $n\ge 2$, on peut utiliser le problème 1. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 3

On suppose connue la notion de produit semi-direct, qui sera définie dans [[../../Produit semi-direct|un chapitre ultérieur]].

Soient $K$ un corps commutatif et $n$ un entier strictement positif. On note $H$ le sous-groupe des matrices de ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K)$ qui ont exactement un coefficient non nul sur chaque colonne et sur chaque ligne et $D$ le sous-groupe formé par les matrices diagonales.

1. Montrer que $H$ est un produit semi-direct $D⋊W$, où $W$ est le sous-groupe des matrices de permutation.
2. On suppose que $|K|\ge 3$. Montrer que $H$ est le normalisateur de $D$ dans ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K)$. Ce résultat subsiste-t-il quand $|K|=2$ ?

Problème 4

Montrer que GL(2, 2) est isomorphe au groupe symétrique SModèle:Ind. Modèle:Solution