Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres, premiers éléments

Problème 1 (très facile)

Soient G un groupe, X une base de G, x et y deux différents éléments de X. Prouver que x et y ne commutent pas.

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. L'énoncé de ce problème montre que tout groupe libre de rang $\ge 2$ est non abélien. On a noté dans le chapitre théorique que les groupes libres de rang 0 sont les groupes triviaux et que les groupes libres de rang 1 sont les groupes isomorphes à $(\mathbb{Z},+)$, donc si un groupe abélien n'est ni trivial ni isomorphe à $(\mathbb{Z},+)$, ce n'est pas un groupe libre. (Attention : comme signalé dans le chapitre théorique, l'expression « groupe abélien libre » ne signifie pas « groupe libre abélien ».) Le problème 1 fournit donc des exemples de groupes n'admettant pas de bases.

Problème 2 (Centre d'un groupe libre)

a) Soit G un groupe libre de rang $\ge 2$. Prouver que le centre de G est trivial (c'est-à-dire réduit à l'élément neutre).

b) Soient X un ensemble, y un élément de X et w un élément de F(X) commutant avec ((y, 1)) dans le groupe F(X). Prouver que w est une puissance (d'exposant entier rationnel) de ((y, 1)) dans le groupe F(X). Modèle:Clr Modèle:Solution Remarques.

• Plus généralement, si deux éléments v et w d'un groupe libre F commutent entre eux, ils sont puissances (à exposants entiers relatifs) d'un même élément de F. On le démontrera dans les exercices du chapitre sur le théorème de Nielsen-Schreier.
• La question a) peut se déduire de la b).

Problème 3 (très facile)

Soit X une partie libre d'un groupe G. (On ne suppose pas que le groupe G est libre.) Prouver que X ne comprend pas l'élément neutre de G. Modèle:Solution

Problème 4 (Tout groupe libre est sans torsion)

Un groupe sans torsion est par définition un groupe dont le seul élément d'ordre fini est l'élément neutre. On va prouver que tout groupe libre est un groupe sans torsion.
Soit X un ensemble, soit $w=((x_1,{ϵ}_1),\dots (x_n,{ϵ}_n))$ un mot réduit sur X (avec $n\ge 0$).
On dit que $w$ est cycliquement réduit si n = 0 ou que les lettres signées $((x_1,{ϵ}_1))$ et $((x_n,{ϵ}_n))$ ne sont pas inverses l'une de l'autre. En d'autres termes, on dit que $w$ est cycliquement réduit si n = 0 ou (n > 0 et ($x_1=x_n$ ou ${ϵ}_1=-{ϵ}_n$)).
Il est clair que si w n'est pas cycliquement réduit, long(w) > 1.
On vérifie facilement que w est cycliquement réduit si et seulement si $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}(w^2)=2\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}(w)$ (où $w^2$ désigne le carré de w dans le groupe F(X) ).

a) Prouver que si w est un élément cycliquement réduit de X, alors, pour tout nombre naturel r,

$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}(w^r)=r\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}(w)$

(où $w^r$ désigne la r-ième puissance de w dans le groupe F(X) ). Modèle:Clr Modèle:Solution b) Prouver que tout élément de F(X) est conjugué dans le groupe F(X) à un élément cycliquement réduit. Modèle:Clr Modèle:Solution c) Prouver que tout groupe libre est un groupe sans torsion. Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. Des raisonnements semblables permettent de prouver l'énoncé suivant : si F est un groupe libre, si a et b sont des éléments de F, s'il existe un nombre naturel $n\ge 1$ tel que aⁿ = bⁿ, alors a = b. En faisant b = 1, on obtient l'énoncé c) comme cas particulier.

Problème 5 (Dérivé du groupe F(X))

Soient X un ensemble et F(X) le groupe libre construit sur X. Pour tout élément $w=((x_1,{ϵ}_1),\dots ,(x_n,{ϵ}_n))=x_1^{{ϵ}_1}\cdots x_n^{{ϵ}_n}$ de F(X) et pour tout élément x de X, posons

$n_x(w)=\sum _{1\le i\le n,x_i=x}{ϵ}_i.$

(On pourrait appeler $n_x(w)$ l'exposant total de x dans w.)

Pour un élément donné w de F(X), les éléments x de X tels que $n_x(w)=0$ sont en nombre fini; en effet, un tel élément x doit être égal à un des $x_i$ apparaissant dans l'écriture $((x_1,{ϵ}_1),\dots ,(x_n,{ϵ}_n))$ de w.

(En revanche, évidemment, un $x_i$ apparaissant dans l'écriture $((x_1,{ϵ}_1),\dots ,(x_n,{ϵ}_n))$ de w n'est pas forcément un x tel que $n_x(w)=0$ : prendre par exemple w = ((a, 1), (b, 1), (a, -1)), avec a et b distincts; alors $n_a(w)=0.$)

Désignons par $\mathbb{Z}$ le groupe additif de entiers rationnels et par ${\mathbb{Z}}^{(X)}$ la somme directe (ou encore somme restreinte) de la famille $(\mathbb{Z}{)}_{x\in X}$, indexée par X, de groupes tous égaux à $\mathbb{Z}$. Autrement dit, ${\mathbb{Z}}^{(X)}$ est l'ensemble des familles à support fini d'entiers rationnels indexées par X, cet ensemble étant muni de la loi de groupe « addition composante par composante ». (Le groupe ${\mathbb{Z}}^{(X)}$ est appelé le groupe abélien libre construit sur X, où le mot « libre » n'a pas le même sens que dans l'expression « groupe libre ».)

D'après ce qui précède, nous pouvons considérer l'application

$\phi :F(X)\to {\mathbb{Z}}^{(X)}:w\mapsto (n_x(w){)}_{x\in X}.$

a) Prouver que $\phi$ est un homomorphisme de groupes. Modèle:Solution b) Prouver que le dérivé F'(X) du groupe F(X) est l'ensemble des éléments $w=((x_1,{ϵ}_1),\dots ,(x_n,{ϵ}_n))$ de F(X) tels que, pour tout x dans X,

$\sum _{1\le i\le n,x_i=x}{ϵ}_i=0,$

autrement dit l'ensemble des éléments w de F(X) tels que, pour tout x dans X,

$n_x(w)=0.$

Modèle:Solution c) Prouver que l'abélianisé F(X)/F'(X) de F(X) est isomorphe au groupe ${\mathbb{Z}}^{(X)}.$ Modèle:Solution d) Soient L un groupe libre et X une base de L. Prouver que l'abélianisé L/L' de L est isomorphe au groupe ${\mathbb{Z}}^{(X)}.$ Modèle:Solution

Problème 6 (facile)

a) Soient X un ensemble non vide et n un nombre naturel non nul. Notons H l'ensemble des éléments $((x_1,{ϵ}_1),\dots ,((x_r,{ϵ}_r))$ de F(X) tels que

${ϵ}_1+\cdots +{ϵ}_r\equiv 0(\mathrm{mod}n).$

Prouver que H est un sous-groupe normal d'indice n de F(X). Modèle:Solution b) Soient L un groupe libre non trivial et n un nombre naturel non nul. Prouver que L contient au moins un sous-groupe normal d'indice n. Modèle:Solution

Problème 7

Soient L un groupe et X une partie de L. Montrer que X est une base de L si et seulement si toute application de X dans le [[../../Groupes symétriques finis|groupe symétrique]] d'un ensemble A se prolonge de façon unique en une [[../../Action de groupe|action]] de L sur A. Modèle:Solution