Théorie des groupes/Exercices/Caractères irréductibles de quelques groupes

Problème 1 (très facile)

Soit G un groupe fini. Prouver qu'une ligne (resp. une colonne) de la table des $ℂ$-caractères de G n'est jamais nulle (c'est-à-dire formée exclusivement de zéros). Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 2

Soit G un groupe fini. Prouver que dans la table des $ℂ$-caractères de G, la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} est la seule colonne formée uniquement de nombres naturels. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 3

Soit $(a_{i,j}{)}_{1\le i,j,\le h}$ la table des $ℂ$-caractères proprement dite d'un groupe fini G. On sait donc que G a exactement h classes de conjugaison. On sait aussi qu'il existe une énumération ${\chi }_1,\dots ,{\chi }_h$ des $ℂ$-caractères irréductibles de G et une énumération $K_1,\dots ,K_h$ des classes de conjugaison de G telles que, pour tous i, j dans {1, ... , h},

$a_{i,j}={\chi }_i(K_j)$.

On ne fait aucune autre hypothèse : on ne suppose pas que la première colonne de la table correspond à la classe de conjugaison {1} et on ne suppose pas que les caractères de degré 1 sont numérotés avant les autres.
a) Prouver que la table des $ℂ$-caractères proprement dite de G permet de connaître l'ordre de G, ainsi que la deuxième et la troisième ligne de titre de la table. Modèle:Clr Modèle:Solution b) Prouver que G est abélien si et seulement si sa table de $ℂ$-caractères comporte une colonne ne comprenant que des 1. Modèle:Clr Modèle:Solution c) Prouver que la table de $ℂ$-caractères proprement dite de G permet de connaître l'ordre du dérivé G' de G. Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. Ce problème montre qu'à partir de la table des $ℂ$-caractères proprement dite d'un groupe fini G, on peut connaître certaines propriétés de la structure de G (mais non forcément la structure elle-même, car on verra dans un des problèmes suivants que deux groupes non isomorphes peuvent avoir la même table de $ℂ$-caractères). On s'est limité à des résultats très simples. Une analyse un peu plus fine montre que, par exemple, la table des $ℂ$-caractères proprement dite de G permet de savoir si G est nilpotent.

Problème 4

Soit G un groupe fini. Il est clair que la table des $ℂ$-caractères de G n'a pas deux lignes identiques (puisque deux différents caractères de G ne peuvent pas coïncider en tout point). Prouver que cette table n'a pas deux colonnes identiques. (Indication. On peut utiliser le fait que les $ℂ$-caractères irréductibles de G engendrent le $ℂ$-espace vectoriel formé par les applications centrales de G dans $ℂ$.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 5

a) Soient G un groupe fini et g un élément de G. Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

(i) g et g^-1 sont conjugués;

(ii) pour tout $ℂ$-caractère $\chi$ de G, $\chi (g)$ est réel;

(iii) pour tout $ℂ$-caractère irréductible $\chi$ de G, $\chi (g)$ est réel.

Modèle:Clr Modèle:Solution b) On a vu dans le chapitre théorique que toutes les valeurs de la table des $ℂ$-caractères d'un groupe diédral sont réelles. Donc, d'après le point a), tout élément d'un groupe diédral est conjugué à son inverse. Démontrer ce dernier fait sans utiliser la théorie des caractères. Modèle:Clr Modèle:Solution c) Un élément g d'un groupe fini G tel que les conditions équivalentes (i), (ii) et (iii) du point a) soient satisfaites est appelé (abusivement) un élément réel de G. Prouver que si un groupe fini G comprend un élément réel distinct de 1, G est d'ordre pair. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 6 (Caractères complexes des groupes dicycliques)

Soit G un groupe dicyclique d'ordre 4m (m nombre naturel non nul).
Il existe donc des éléments a et b de G tels que a soit d'ordre 2m, $b^2=a^m$ et $b^{-1}ab=a^{-1}$.
On va déterminer les $ℂ$-caractères irréductibles de G. (La méthode sera très semblable à celle qu'on a suivie dans le chapitre théorique pour déterminer les $ℂ$-caractères irréductibles d'un groupe diédral.)

a) Déterminer les $ℂ$-caractères de degré 1 de G. (Indication : G' désignant le dérivé de G, on a déterminé G' et G/G' dans un exercice de la série Groupes dicycliques. Il faut distinguer les cas m pair et m impair.) Modèle:Clr Modèle:Solution b) Posons $\zeta =e^{i\pi /m}$ (avec $i^2=-1$ dans $ℂ$). Donc $\zeta$ est une racine primitive 2m-ième de l'unité.
Désignons par A la matrice

$A=\left(\begin{array}{cc}\zeta & 0\\ 0& {\zeta }^{-1}\end{array}\right)$

et, pour tout entier rationnel j, posons

$B_j=\left(\begin{array}{cc}0& (-1{)}^j\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Prouver que pour tout $j\in \mathbb{Z}$, il existe une et une seule $ℂ$-représentation de G, soit T_j, qui applique a sur A^j et b sur B_j. (Indication : on peut utiliser un exercice de la série Groupes dicycliques intitulé « Homomorphismes partant d'un groupe dicyclique ».)

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. On a déjà rencontré les deux matrices T₁(a) = A et T₁(b) = B₁ dans le chapitre Groupes dicycliques, où on a donné une preuve de l'existence d'un groupe dicyclique d'ordre 4m en montrant que le sous-groupe de $GL(2,ℂ)$ engendré par ces deux matrices est un tel groupe. De ce dernier fait, on tire facilement que la représentation T₁ est fidèle.

c) Les $ℂ$-représentations T_j étant définies comme au point b), prouver que T₁, ... , T_m-1 sont irréductibles. (Indication : on peut imiter la façon dont on a prouvé un énoncé analogue relatif aux groupes diédraux dans le chapitre théorique.) Modèle:Clr Modèle:Solution d) Prouver que les $ℂ$-représentations T₁, ... , T_m-1 de G sont deux à deux non équivalentes. (Indication : utiliser la démonstration de l'énoncé analogue relatif aux groupes diédraux qui a été donnée dans le chapitre théorique.) Modèle:Clr Modèle:Solution e) Dresser la table des $ℂ$-caractères de G (en distinguant selon que m est pair ou impair). Modèle:Solution f) Montrer que le groupe des quaternions (groupe dicyclique d'ordre 8) a la même table de caractères que le groupe diédral d'ordre 8 (abstraction faite de la première ligne de titre). En conclure que deux groupes finis peuvent avoir la même table des caractères sans être isomorphes. Modèle:Solution