Théorie de la mesure/Exercices/Algèbres et tribus

Exercice 1-1

À partir de ${ℰ}_0\mathcal{\subset }\mathrm{\Omega }$, on définit la suite $({ℰ}_{𝓃}\mathcal{)}$ par récurrence : ${ℰ}_{2k+1}={ℰ}_{2k}\cup \{A^c\mid A\in {ℰ}_{2k}\}$, ${ℰ}_{2k+2}=\{$unions finies d'éléments de ${ℰ}_{2k+1}\}$.

1. Montrer que $\mathrm{\forall }n\ge 4{ℰ}_n={ℰ}_4$.
2. En déduire que l'algèbre sur $\mathrm{\Omega }$ engendrée par ${ℰ}_0$ est égale à ${ℰ}_4$.

Exercice 1-2

Déterminer $\lim \inf A_n$ et $\lim \sup A_n$ dans chacun des cas suivants :

1. $A_n=[(-1{)}^n,n]$ ($n\ge 1$) ;
2. $A_n=[1/n,1+1/n]$ ($n\ge 1$) ;
3. $A_n=[n,n+1]$ ($n\ge 0$) ;
4. $A_n=](-1{)}^n/n,1+(-1{)}^{n+1}/n[$ ($n\ge 1$) ;
5. $A_{2n}=G$, $A_{2n+1}=H$ ($n\ge 0$), où $G,H$ sont deux ensembles arbitraires.

Exercice 1-3

Décrire la tribu sur $ℝ$ engendrée par les ensembles de la forme $[-b,-a[\cup ]a,b]$ pour $0<a<b$. Modèle:Solution

Exercice 1-4

1. Montrer que l'union d'une suite croissante d'algèbres est une algèbre.
2. Soit $\mathrm{\Omega }=\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$ l'ensemble des suites $\omega =({\omega }_0,{\omega }_1,\dots )$ constituées de zéros et de uns. Pour $n\in \mathbb{N}$ fixé, soient ${\mathrm{\Omega }}_n=\{0,1{\}}^n$, ${\mathrm{\Pi }}_n:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}_n,\omega \mapsto ({\omega }_0,\dots ,{\omega }_{n-1})$ et ${ℱ}_n=\{{\mathrm{\Pi }}_n^{-1}(B)\mid B\in 𝒫({\mathrm{\Omega }}_n)\}$. Montrer que ${ℱ}_{𝓃}$ est une tribu sur $\mathrm{\Omega }$.
3. Montrer que la suite $({ℱ}_{𝓃}\mathcal{)}$ est croissante.
4. On veut montrer que la réunion $ℱ$ des ${ℱ}_{𝓃}$ n'est pas une tribu. Soit $A=\{\omega \in \mathrm{\Omega }\mid \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\omega }_n=0\}$. Montrer que $A$ appartient à la tribu engendrée par $ℱ$. Montrer que tout $X$ non vide appartenant à $ℱ$ contient des suites n'appartenant pas à $A$. En déduire que $A\notin ℱ$. Conclure.

Exercice 1-5

Continuité presque partout $\Rightarrow$ mesurabilité :

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques munis respectivement des tribus boréliennes associées ${ℬ}_X$ et ${ℬ}_Y$, $\mu$ une mesure sur ${ℬ}_X$, ${\overline{ℬ}}_X$ la tribu complétée pour cette mesure et $f:X\to Y$ une application continue $\mu$-presque-partout, c'est-à-dire telle que l'ensemble $N=\{x\in X\mid f\text{ discontinue en }x\}$ soit $\mu$-Modèle:W.

Démontrer que $f$ est mesurable de $(X,{\overline{ℬ}}_X)$ dans $(Y,{ℬ}_Y)$.

Indication : pour tout ouvert $O$ de $Y$, construire un ouvert $V$ de $X$ tel que

$f^{-1}(O)\cap (X\setminus N)\subset V\subset f^{-1}(O)$ et montrer qu'alors, $f^{-1}(O)=V\cup (f^{-1}(O)\cap N)$.

Exercice 1-6

Soient $(Y,{𝒯}_Y)$ et $(Z,{𝒯}_Z)$ deux espaces mesurables.

1. Montrer que la tribu produit ${𝒯}_Y\otimes {𝒯}_Z$ est la plus grande tribu sur $Y\times Z$ telle que si $f:X\to Y$ et $g:X\to Z$ sont mesurables alors $(f,g):X\to Y\times Z$ aussi.
2. Montrer que ${𝒯}_Y\otimes {𝒯}_Z$ est la plus petite tribu sur $Y\times Z$ telle que les projections $p:Y\times Z\to Y$ et $q:Y\times Z\to Z$ soient mesurables.
3. Montrer que la propriété précédente, pour une tribu $𝒯$ sur $Y\times Z$, équivaut à : si $(f,g):X\to (Y\times Z,𝒯)$ est mesurable alors $f:X\to Y$ et $g:X\to Z$ aussi.
4. Déduire de tout ce qui précède une caractérisation de ${𝒯}_Y\otimes {𝒯}_Z$.