Série numérique/Rappels

Linéarité de la série numérique

$\sum _{i=m}^n(a_i+b_i)=\sum _{i=m}^n{a}_i+\sum _{i=m}^n{b}_i$

$\sum _{i=m}^n\lambda (a_i)=\lambda \left(\sum _{i=m}^n{a}_i\right)$

Produit et distributivité

$\left(\sum _{i=m}^n{a}_i\right)\left(\sum _{j=p}^q{b}_j\right)=\sum _{i=m}^n(\sum _{j=p}^q(a_i{b}_j))=\sum _{j=p}^q(\sum _{i=m}^n(a_i{b}_j))$

Découpage

$\sum _{i=m}^p{a}_i=\sum _{i=m}^{n-1}{a}_i+\sum _{i=n}^p{a}_i=\sum _{i=m}^n{a}_i+\sum _{i=n+1}^p{a}_i$ avec $m\le n\le p$.

On a donc :

$\sum _{i=m}^n{a}_i+\sum _{i=n}^p{a}_i=\sum _{i=m}^p{a}_i+a_n\ne \sum _{i=m}^p{a}_i$

Inégalité de Cauchy-Schwarz

${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\le (\sum _{i=1}^n(a_i{)}^2)(\sum _{i=1}^n(b_i{)}^2)$