Série numérique/Exercices/Série harmonique

Question 1

On pose $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Montrer que $\lim H_n=+\mathrm{\infty }$.

Question 2

Montrer que plus précisément, la suite $(H_n-\ln n{)}_{n\ge 1}$ converge (donc $H_n\sim \ln n$). Pour cela, poser $v_n=H_n-\ln n$ et considérer la série de terme général $a_n:=v_n-v_{n-1}$ pour $n\ge 2$, et $a_1=v_1$. Modèle:Solution

La limite de $(H_n-\ln n)$ est la constante d'Euler, notée $\gamma$. On a donc démontré la Modèle:Définition

Question 3

Retrouver le résultat de la question 2 en montrant que les suites $u_n=H_{n-1}-\ln n$ et $v_n=H_n-\ln n$ (définies pour $n\ge 1$) sont adjacentes.

Question 4

Déduire de la formule d'Euler (question 2), en exprimant $P_n:=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2k}$ et $I_n:=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2k-1}$ en fonction de $H_n$ et $H_{2n}$, la convergence et la somme de la série harmonique alternée :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}=-\ln 2$.