Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert

Exercice 1

(Généralisation de la règle de d'Alembert.) Soient $\sum a_n$ et $\sum b_n$ deux séries à termes strictement positifs vérifiant, à partir d'un certain rang :

$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

Montrer que :

1. si $\sum b_n$ converge alors $\sum a_n$ converge ;
2. si $\sum a_n$ diverge alors $\sum b_n$ diverge.

Exercice 2

Soient $a\in ℝ$ et $b\in {ℝ}_{+}^{*}$. Utiliser la règle de d'Alembert pour déterminer la nature des séries numériques de terme général :

1. $a_n=\frac{a^n}{n!}$ ;
2. $b_n=\frac{n!}{n^n}$ ;
3. $c_n=\frac{b^n(n!{)}^a}{(2n)!}$ ;
4. $d_n=\frac{n!n^n}{(2n)!}$.

Exercice 3

Déterminer la nature des séries de terme général :

1. $x_n=\frac{a^n}{n^n}$, pour $a\in ℝ$ ;
2. $y_n=\frac{a^n{2}^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n}}+b^n}$, pour $a,b>0$ ;
3. $z_n=\frac{z^n{n}^3}{n!}$, pour $z\in ℂ$ ;
4. $t_n={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n^2}$.