Série de Fourier/Étude de la convergence

Considérons la suite des sommes partielles :

$S_{N,f}(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^N(a_n\cos \left(\frac{2\pi n}{T}x\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi n}{T}x\right))$

Les termes $a_n\cos \left(\frac{2\pi n}{T}x\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi n}{T}x\right)$ peuvent aussi s'écrire ${\alpha }_n\cos (\frac{2\pi n}{T}x+{\phi }_n)$

où ${\alpha }_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ et $\tan ({\phi }_n)=-\frac{b_n}{a_n}$

On appelle première harmonique le terme : ${\alpha }_1\cos (\frac{2\pi }{T}x+{\phi }_1)$

De même on appelle n-ième harmonique le terme : ${\alpha }_n\cos (\frac{2\pi n}{T}x+{\phi }_n)$

Plus l'indice $n$ augmente et tend vers l'infini, plus la suite des sommes partielles tend vers la fonction $f$ qui est, le plus généralement, exprimée en morceaux. La série de Fourier converge alors vers la fonction de départ.