Série de Fourier/Généralités

Modèle:Chapitre Nous partons d’une fonction réelle ou complexe $f$ de période $T>0$, définie sur un intervalle de longueur $T$, par exemple $[0;T]$; nous supposons que les formules d’Euler-Fourier lui sont applicables, et nous associons à $f$ la série trigonométrique qui possède les coefficients ainsi calculés. On dit que cette série est la série de Fourier de $f$.

Le problème qui se pose est double : étudier la convergence de la série de Fourier ainsi associée à $f$ ; si cette série converge, chercher si elle représente la fonction $f$.

Propriétés des coefficients de Fourier de $f$

À la fonction $f$, réelle ou complexe, intégrable sur $[0;T]$, nous associons les trois suites de coefficients :

Coefficients de Fourier de $f:\{\begin{array}{c}{a}_0=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(x)dx(n=0)\\ a_n=\frac{2}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(x)\cos \left(\frac{2\pi n}{T}x\right)dx(n\ge 1)\\ b_n=\frac{2}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(x)\sin \left(\frac{2\pi n}{T}x\right)dx(n\ge 1)\end{array}$