Série de Fourier/Exercices/Étude de fonction

Soit la fonction f de $ℝ$ vers $ℝ$ définie comme suit :

$\{\begin{array}{c}f\text{ est paire }\\ f\text{ est périodique et a pour période }2\pi \\ f(t)=1-\sin t\text{ si }0\le t\le \pi \end{array}$

1. Représenter graphiquement f sur l'intervalle $[-2\pi ;2\pi ]$. Le plan sera muni d'un repère orthogonal : Modèle:Unité en abscisse et Modèle:Unité en ordonnées).

On se propose de calculer les coefficients $a_n$ et $b_n$ du développement en série de Fourier de la fonction f

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : $b_n=0$

3. Calculer $a_0$

4. Calculer $a_1$

5. Calculer $a_n$ en fonction de n pour $n\ge 2$. En déduire $a_{2p}=\frac{4}{\pi (4p^2-1)}$ et $a_{2p+1}=0$

6. Écrire un développement en série de Fourier de la fonction f

Soit la fonction g définie sur $ℝ$ par : $g(t)=1-\frac{2}{\pi }+\frac{4}{3\pi }\cos 2t+\frac{4}{15\pi }\cos 4t$

7. Démontrer que g est paire, qu'elle est périodique et admet pour période $\pi$

On étudie g sur l'intervalle $[0;\frac{\pi }{2}]$

8. Calculer g'(t) et démontrer que l’on a $g^{\prime }(t)=\frac{-8}{3\pi }(\sin 2t)(1+\frac{4}{5}\cos 2t)$.

9. En déduire le sens de variation de g sur l'intervalle $[0;\frac{\pi }{2}]$

10. Sur le graphique de la question 1 dessiner la courbe représentative de g sur $[0;\frac{\pi }{2}]$. On placera les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses 0 et $\frac{\pi }{2}$