Systèmes du second ordre/Système sous-amorti

Dans ce cas (sans jeu de mot) plus complexe, on a donc $\xi <1$

Calculs

La FT étant toujours, $\underset{\_}{H}(p)=\frac{K}{1+\frac{2\xi }{{\omega }_0}\cdot p+(\frac{p}{{\omega }_0}{)}^2}$, on en tire le même Polynôme Caractéristique $1+\frac{2\xi }{{\omega }_0}\cdot p+(\frac{p}{{\omega }_0}{)}^2=0$ . de déterminent négatif

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(\frac{2\xi }{{\omega }_0}{)}^2-4\cdot 1\cdot (\frac{1}{{\omega }_0}{)}^2$

on se place en formalisme complexe et non plus laplacien (ie $p=j\omega$ avec $j^2=-1$)

on a ainsi:

$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{K}{1+\frac{2\xi }{{\omega }_0}\cdot j\omega -(\frac{\omega }{{\omega }_0}{)}^2}$

on pose $U=\frac{j\omega }{{\omega }_0}$ et on a

$\underset{\_}{H}(j\omega )=\frac{K}{1+2U\xi -U^2}=\frac{K}{(1-U^2{)}^2+(2\xi U{)}^2}$

on en tire donc le module et l'argument :

$|\underset{\_}{H}(j\omega )|=\frac{K}{\sqrt{(1-U^2{)}^2+(2\xi U{)}^2}}$

$\arg (\underset{\_}{H}(j\omega ))=\phi =-\arctan (\frac{2\xi U}{1-U^2})$

Diagramme de Bode

Asymptotes et limites

Quand $\omega \to 0$ alors $U\to 0$ et $\phi \to 0$

Quand $\omega \to \mathrm{\infty }$ alors $U\to \mathrm{\infty }$

$\cos (\phi )=\frac{\Re }{|\underset{\_}{H}(j\omega )|}=\frac{(1-U^2)}{\sqrt{(1-U^2{)}^2+(2\xi U{)}^2}}$

$\sin (\phi )=\frac{\Im }{|\underset{\_}{H}(j\omega )|}=\frac{-2\xi U}{\sqrt{(1-U^2{)}^2+(2\xi U{)}^2}}$

On constate donc que quand $U\to \mathrm{\infty }$ on a $\cos (\phi )\to \frac{-(U^2-1)}{\sqrt{U^2-1{)}^2}}\to -1$ et $\sin (\phi )\to 0$