Suites et séries de fonctions/Séries de fonctions

On considère là encore des fonctions d'une variable réelle.
Modèle:Définition (exemple à faire)

Convergence simple

On remarquera qu'une série de fonctions est une suite de fonctions particulière au même titre qu'une série numérique est une suite numérique particulière. De plus, la convergence simple d'une série de fonctions n'est en fait rien d’autre que la convergence simple de la suite de ses sommes partielles. (exemple à faire)

Convergence normale

Cela équivaut à dire qu'il existe une série numérique convergente $\sum a_n$ telle que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in 𝒟|f_n(x)|\le a_n$.

Propriétés des séries de fonctions

Ces théorèmes se démontrent en utilisant les théorèmes correspondants sur les suites de fonctions.
Modèle:Théorème Dans chaque cas, la réciproque est fausse.

Modèle:Théorème On parle aussi de passage à la limite terme à terme.

La théorie de Lebesgue donne un théorème d'intégration terme à terme des séries de fonctions intégrables : Modèle:Théorème