Suites et récurrence/Exercices/Limites

Cas assez simples

Trouver les limites des suites suivantes :

1. $a_n=\frac{n-{(-1)}^n}{n+{(-1)}^n}$ avec $n\ge 2$

2. $b_n=\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2$

3. $c_n=\sqrt[n]{n}$

4. $d_n=\sqrt[n^2]{n!}$

5. $e_n=\frac{n!}{n^n}$

6. $f_n=\frac{a^n}{n!}$, pour $a\ge 0$

7. $g_n=\frac{n^{n}n!}{(2n)!}$

Récurrence simultanée sur deux suites

Soient $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définies par :

$u_0=1,v_0=2,u_{n+1}=\frac{u_n^2}{u_n+v_n},v_{n+1}=\frac{v_n^2}{u_n+v_n}$ (pour tout $n\in \mathbb{N}$).

1. Montrer que $u_n>0$ et $v_n>0$ (pour tout $n\in \mathbb{N}$).
2. Montrer que les deux suites décroissent. En déduire qu'elles convergent.
3. On note $\ell$ et ${\ell }^{\prime }$ leurs limites respectives. Montrer que $\ell {\ell }^{\prime }=0$.
4. Montrer que la suite $(v_n-u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est constante.
5. En déduire $\ell$ et ${\ell }^{\prime }$.