Statistique inférentielle/Estimation d'un paramètre

Le problème de l'estimation

On désire connaître la valeur d'un paramètre (moyenne m, écart-type $\sigma$ ou fréquence d'une modalité p) d'une variable statistique liée à une population de taille N.

Mais on ne dispose pour cela que d'un échantillon de taille n (typiquement supérieur à 30).

On a une correspondance entre les paramètres sur la population et les paramètres sur l'échantillon.

On notera les paramètres calculés à partir de l'échantillon avec une barre :

	Population mère	Échantillon
Effectif	N	n
Moyenne	m	$\overline{x}$
Écart-type	$\sigma$	$s$
Fréquence	f	$\overline{f}$

La question posée est :

Les paramètres de l'échantillon constituent-ils de bonnes estimations des paramètres inconnus de la population ?

Sinon, y en a-t-il de meilleurs ?

Estimation de l'écart-type

La meilleure estimation de l'écart-type $\sigma$ de la population n’est pas l'écart-type $\overline{\sigma }$ de l'échantillon.

Exemple

Une usine fabrique des pièces cylindriques dont on mesure le diamètre.

On obtient sur un échantillon :

Diamètre	[23,59;23,61[	[23,61;23,63[	[23,63;23,65[	[23,65;23,67[	[23,67;23,68[
Effectif	6	8	51	30	5

1) Calculer la moyenne $\overline{x}$ et l'écart-type $s$ de cet échantillon.

2) Donner une estimation de la moyenne $m$ et de l'écart-type $\sigma$ de la production totale.

Estimation d'une fréquence

Exemple

Dans un échantillon de 150 pièces, on a relevé 3 pièces défectueuses.

Donner une estimation du pourcentage de pièces défectueuses dans la production.

Incertitude

Malgré la certitude que nous donne ces théorèmes quant au fait d’avoir les meilleures estimations possibles, il n'y a aucune raison que les paramètres de l'échantillon correspondent exactement à ceux de la population.

On peut quantifier l'incertitude relative à ces estimations grâce à la théorie des intervalles de confiance.