Résolution numérique d'équations différentielles/Équations différentielles ordinaires
Définition générale
Résoudre une équation différentielle revient à trouver les fonctions solutions. Modèle:Exemple
L'ordre d'une équation différentielle, parfois appelée degré, est l’ordre n de la plus haute dérivée y apparaissant.
Équations différentielles ordinaires
Un bon exemple reste la Relation Fondamentale de la Dynamique, permettant de définir la position, la vitesse et l'accélération d'un corps solide indéformable dans un système newtonien. Modèle:Exemple
Dans le cas où la solution recherchée est fonction de plusieurs variables (ce qui est souvent le cas lorsqu'on travaille dans des espaces vectoriels et non sur des valeurs scalaires), on parle d'Équations aux Dérivées Partielles (ou EDP). Dans un premier temps nous bornerons cette leçon sur le calcul numérique à l'étude d'EDO, la résolution d'EDP nécessitant de passer par des formes matricielles.
Un des points intéressant à noter dans le cas des EDO, c’est que la solution obtenue est totalement déterministe, ce qui n’est pas le cas dans le cadre des EDP, où une même équation avec le même jeu de conditions aux limites peut donner des solutions différentes.
Les EDO linéaires
La résolution des équations différentielles linéaires des Modèle:1er et 2Modèle:E degré ne posent pas de problèmes particuliers. Elles sont déterministes et ont une solution analytique qui se résout à l'aide des conditions aux limites.
Il existe des formules équivalentes pour le 3Modèle:E degré.
En revanche, pour les équations différentielles non-linéaires, il existe rarement de solution analytique simple. Trois solutions s'offrent alors pour déterminer une solution:
- utilisation de séries numériques dans certains cas particuliers pour obtenir une solution analytique,
- développement en série de Fourier,
- recherche d'une solution approchée par calcul numérique.
C'est cette dernière méthode qui est la plus fréquemment utilisée dans le cadre de la physique analytique. Elle a été rendue possible par l'évolution de la puissance des ordinateurs, et des calculs numériques qui prenaient auparavant plusieurs heures donnent aujourd’hui des résultats en quelques minutes.