Référentiel terrestre/Pesanteur vulgaire

La force d'inertie d'entraînement : pesanteur vulgaire

La pesanteur vulgaire est, comme on l'a dit, composée de la force de gravité due à la masse $M$ de la Terre et de la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre avec une vitesse ${\omega }_e$. On se propose de calculer le poids $\overrightarrow{P}$ d'une masse $m$ en un point $O$ de la surface de Terre situé à la latitude $\lambda$. $C$ désigne le centre de la Terre ici assimilée à un corps de rayon $R$ à distribution sphérique de masse, $G$ est la constante de gravitation universelle. Le repère choisi est orthonormé et a pour origine $O$, pour axe $z$ la direction $CO$, pour axe $x$ une direction tangente au méridien terrestre, pour axe $y$ une direction tangente au parallèle terrestre.

Coordonnées terrestres

$\overrightarrow{P}=\left\{\begin{array}{c}{P}_x\\ P_y\\ P_z\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}m{\omega }_e^{2}Rcos\lambda sin\lambda \\ 0\\ -G\frac{Mm}{R^2}+m{\omega }_e^{2}Rco{s}^2\lambda \end{array}\right\}$

La direction de $\overrightarrow{P}$ définit la verticale. On factorise l’expression de $\overrightarrow{P}$ par $m$ et on note $\overrightarrow{g}$ le vecteur résultant : $\overrightarrow{g}$ est l'accélération de la gravité commune, d'où l’expression $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$

On peut tout de suite constater que $\overrightarrow{g}$ n’est pas colinéaire à $\overrightarrow{CO}$, en d’autre terme la verticale d'un point n’est pas confondue avec la direction de ce point au centre de la Terre. Ces deux directions forment un angle $\alpha$ certes petit mais néanmoins existant, et que l’on peut calculer.

$tan\alpha =\left|\frac{P_x}{P_z}\right|=\frac{{\omega }_e^{2}Rsin\lambda cos\lambda }{GM/R^2-{\omega }_e^{2}Rco{s}^2\lambda }$ <formule à vérifier>

À titre d'exemple, pour $\lambda =45^{\circ }$, $\alpha$ vaut environ 6 secondes d'arc.

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