Réduction des endomorphismes/Exercices/Exponentielle d'une matrice

Exercice 4-1

Soit $A\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$ antisymétrique. Que dire de $\exp \left(A\right)$ ? Modèle:Solution

Exercice 4-2

Soit $K$ un corps algébriquement clos. Montrer que :

a)  Si $K$ est de caractéristique $p>0$, il n'existe pas de matrice $A\in {\mathrm{M}}_2(K)$ telle que $A^p=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

b)  Pour tous entiers $n,k>0$, si $K$ est de caractéristique nulle ou strictement supérieure à $\max (n-1,k)$ alors, pour toute matrice $B\in {\mathrm{M}}_n(K)$, il existe $A\in {\mathrm{M}}_n(K)$ telle que $A^k=B$. Modèle:Solution