Réduction des endomorphismes/Diagonalisabilité

Définition

Soit $\phi \in ℒ(E)$.

En effet, si $\underset{\_}{f}=(f_1,\cdots ,f_n)$ est une base de vecteurs propres, alors en notant ${\lambda }_i$ la valeur propre correspondant au vecteur propre $f_i$ (les ${\lambda }_i$ ne sont pas nécessairement deux à deux distincts), on obtient que la matrice de $\phi$ dans la base $\underset{\_}{f}$ est :

$M_{\phi }(\underset{\_}{f})=\left(\begin{array}{cccccc}{\lambda }_1& & & & & \\ & {\lambda }_2& & & (0)& \\ & & \ddots & & & \\ & & & \ddots & & \\ & (0)& & & {\lambda }_{n-1}& \\ & & & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$

Théorème de diagonalisation

On suppose $E$ de dimension $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ finie et l'on note $p=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{S}\mathrm{p}(\phi ))$ le nombre de valeurs propres de $\phi$. Modèle:Théorème

Interprétation matricielle

Contre-exemple

Si $A\in {\mathrm{M}}_n(K)$ n'a qu'une valeur propre $\lambda$, d'ordre n — en particulier, si A est triangulaire et si ses éléments diagonaux sont tous égaux à $\lambda$ — mais n’est pas diagonale, alors elle n’est même pas diagonalisable.

En effet, la seule matrice diagonale ayant $\lambda$ comme valeur propre d'ordre n est $\lambda {\mathrm{I}}_n$, et $P\lambda {\mathrm{I}}_n{P}^{-1}=\lambda {\mathrm{I}}_n$.

Il faut enfin faire le lien entre les deux points de vue (matrice et endomorphisme) : Modèle:Propriété En effet, si $A=M_{\phi }(\underset{\_}{e})$ alors, en notant $\underset{\_}{f}$ une base de vecteurs propres pour $\phi$, la formule de changement de base donne :

$M_{\phi }(\underset{\_}{e})=P(\underset{\_}{e},\underset{\_}{f})M_{\phi }(\underset{\_}{f})P(\underset{\_}{f},\underset{\_}{e})$ et donc $P=P(\underset{\_}{e},\underset{\_}{f})$ et $D=M_{\phi }(\underset{\_}{f})$.

Méthode pratique de diagonalisation

En pratique, si l’on cherche à diagonaliser $A\in {𝕄}_n(ℝ)$:

• on calcule le polynôme caractéristique $p_A(t)=\det (A-t{I}_n)$ (ou,dans des situations plus théoriques, le polynôme minimal)de $A$ en cherchant à le factoriser le plus possible (car on cherche ses racines, qui sont les valeurs propres de $A$ );
• pour chaque valeur propre $\lambda$ , on détermine le sous-espace propre $E_{\lambda }(A)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A-\lambda I_n)$ (ou, si l’on préfère, on résout le système $(A-\lambda I_n)X=0$ ) et on obtient une base de $E_{\lambda }(A)$ , c'est-à-dire une base de vecteurs propres pour la valeur propre $\lambda$ ;
• si le polynôme caractéristique est scindé, et que pour toutes les valeurs propres $\lambda$ , $\dim E_{\lambda }(A)$ est égale à la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme caractéristique $p_A$ , alors $A$ est diagonalisable et on a $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ (les valeurs propres sont mises chacune $\dim E_{\lambda }(A)$ fois) et $P$ est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres rangés dans le même ordre que l’ordre des valeurs propres dans la matrice $D$. On a alors $A=PD{P}^{-1}⟺D=P^{-1}AP$ .

Exemple :Soit $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 3& -1\\ 2& -1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]\in {𝕄}_3(ℝ)$
$p_A(X)=\det (A-X{I}_3)=\left|\begin{array}{ccc}-X& 3& -1\\ 2& -1-X& 1\\ 0& 0& 2-X\end{array}\right|=-(2-X{)}^2(3+X)$
Donc les valeurs propres sont :

• 2 de multiplicité 2
• -3 de multiplicité 1

Calcul des sous-espaces propres :
Calcul de $E_2(A)$ : On cherche les $X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$ tels que :
$(A-2I_3)X=0$
$\iff \left[\begin{array}{ccc}-2& 3& -1\\ 2& -3& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0\iff -2x_1+3x_2-x_3=0$
Donc $E_2(A)=\mathrm{Vect}\{\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right]\}$
On procède de même pour $E_{-3}(A)$ et on obtient :
$E_{-3}(A)=\mathrm{Vect}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]\right\}$
On a bien : $\dim (E_2(A))=2$ et $\dim (E_{-3}(A))=1$, donc cette matrice est diagonalisable.
Une diagonalisation possible est : $D=P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -3\end{array}\right]$, avec $P=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 3& -2& 0\end{array}\right]$

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